Алгебра: Упрости x^2/y-1:x^3/2y-2 при x=0, 5, y=-3

Образы базисных векторов: . Разложим образы по базису: , потому матрица оператора будет иметь вид .(Основа? Понимаю под этим здесь базис, учитывая перевод). Тогда , подойдут, например, векторы ., значит, собственные значения -- .Собственное подпространство , отвечающее собственному значению есть в точности . Для : . Базис можно выбрать, например, такой: и , то есть .Для : . Базис: , то есть .Для : . Базис: , то есть .Не слышал понятия простого эндоморфизма, так что предположу, что под этим понимается...

Упрости x^2/y-1:x^3/2y-2 при x=0, 5, y=-3

👇

Увидеть ответ

Открыть все ответы

Ответ:

ХочуЗнатьВсе1

23.03.2023

4 корня

Объяснение:

2sin(3x)*sin(x) + cos(2x) + 2 = 0; x € [-Π/2; 3Π/2]

Формулы:

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Подставляем формулы в уравнение:

2sin(x)*(3sin(x) - 4sin^3(x)) + 1 - 2sin^2(x) + 2 = 0

6sin^2(x) - 8sin^4(x) - 2sin^2(x) + 3 = 0

8sin^4(x) - 4sin^2(x) - 3 = 0

Получили биквадратное уравнение относительно sin(x).

Сделаем замену sin^2(x) = y ≥ 0 при любом х.

8y^2 - 4y - 3 = 0

D/4 = 2^2 - 8*(-3) = 4 + 24 = 28 = (2√7)^2

y1 = (2 - 2√7)/8 < 0 - не подходит.

y2 = (2 + 2√7)/8 = (1 + √7)/4

Возвращаемся к переменной х

sin^2(x) = (1+√7)/4

1) sin x = -√((1+√7)/4)

x1 = -arcsin [√((1+√7)/4)] + 2Πn, n € Z

x2 = π + arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πn, n € Z

2) sin x = √((1+√7)/4)

x3 = arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πk, k € Z

x4 = π - arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πk, k € Z

Теперь нам надо найти количество корней на промежутке [-Π/2; 3Π/2]

Найдем, в какую четверть попадает каждый из корней. Обозначим:

t = √((1+√7)/4) ≈ 0,95

Можно и не вычислять, самое главное, что t € (0; 1)

arcsin(0,95) ≈ 72° = 2Π/5

Тоже можно не вычислять, главное, что arcsin t € (0, Π/2)

x1 = -arcsin t € (-Π/2; 0)

x2 = Π + arcsin t € (Π; 3Π/2)

x3 = arcsin t € (0; Π/2)

x4 = Π - arcsin t € (Π/2; Π)

Как видим, все 4 корня попадают во все 4 четверти, то есть в промежуток.

4,6(98 оценок)

Ответ:

misha12e

23.03.2023

Образы базисных векторов: $f(1) = 0,\; f(x) = 0,\; f(x^2) = 2x(x-1),\;f(x^3) = 6x^2(x-1)$ . Разложим образы по базису: $f(1) = (0,0,0,0),\; f(x) = (0,0,0,0),\;f(x^2) = (0,-2,2,0),\;f(x^3) = (0,0,-6,6)$ , потому матрица оператора будет иметь вид $A=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&-2&0\\0&0&2&-6\\0&0&0&6\end{array}\right)$ .

(Основа? Понимаю под этим здесь базис, учитывая перевод). Тогда $\mathrm{dim}\;\mathrm{Im} \;f = \mathrm{rank} \;A = 2$ , подойдут, например, векторы $(0,-2,2,0)^{T},\; (0,0,-6,6)^T$ .

$A-\lambda E =\left(\begin{array}{cccc}-\lambda&0&0&0\\0&-\lambda&-2&0\\0&0&2-\lambda&-6\\0&0&0&6-\lambda\end{array}\right) \Rightarrow \chi(\lambda) = \lambda^2(2-\lambda)(6-\lambda)$ , значит, собственные значения -- 0,2,6 .

Собственное подпространство $V_{\lambda}$ , отвечающее собственному значению $\lambda$ есть в точности $\mathrm{ker}\;(f-\lambda \mathrm{Id}_{f}) \Leftrightarrow v\in V: (A-\lambda E)v = 0$ .

Для $\lambda=0$ : $v = (x,y,0,0)^T,\;x,y\in \mathbb{R}$ . Базис можно выбрать, например, такой: $(1,0,0,0)^{T}$ и (0,1,0,0)^T , то есть $\langle 1,x\rangle$ .

Для $\lambda=2$ : v=(0,x,-x,0)^T . Базис: (0,1,-1,0)^T , то есть $\langle x-x^2\rangle$ .

Для $\lambda=6$ : v = (0,x,-3x,2x)^T . Базис: (0,1,-3,2)^T , то есть $\langle x-3x^2+2x^3 \rangle$ .

Не слышал понятия простого эндоморфизма, так что предположу, что под этим понимается простой элемент в кольце эндоморфизмов. Ну а тогда идея такая: представить матрицу в виде произведения двух матриц, ранг которых выше (ну а тут только ) подойдет. Тогда матрица не может делить никакую из них. Здесь надо заметить, что наша матрица диагонализуема (алгебраические кратности совпадают с геометрическими), ее можно привести к виду $\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&6\end{array}\right)$ . Тогда $\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&\sqrt{2}&0\\0&0&0&\sqrt{6}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\sqrt{2}&0\\0&0&0&\sqrt{6}\end{array}\right)$ , а ранги сомножителей . Поэтому не является простым.

После применения оператора получили новый базис (можно было изначально выбрать базис из собственных векторов и тогда бы получили диагональную матрицу из предыдущего пункта). Многочлен x(x-1) в этом (из первого пункта) базисе имеет компоненты (0,0,1/2,0) . Легко видеть, что элемент x^2/2 отображается именно в x(x-1) . Но тогда $f^{-1}(x(x-1)) = \dfrac{x^2}{2}+\mathrm{ker}\;f = \dfrac{x^2}{2}+(a,b,0,0)^T = \dfrac{x^2}{2}+a+bx$ .