Question

Дана функция y = f(x), где f (x) = х4 – 4х3 + 3. 1.Найдите область определения функции y = f (x).

2.Найдите интервалы монотонности функции y = f (x).

3.Найдите точки экстремумов функции y = f (x).

4.Постройте график функции y = f (x).

5.По графику функции y = f (x) постройте график функции y = f ʹ(x).

6.Укажите число корней уравнения f ʹ(x) = a в зависимости от a.

Answer 1

Хорошо, давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1. Область определения функции y = f(x) - это множество всех значений x, для которых функция существует. В данном случае, у функции y = f(x) не существует никаких ограничений, поэтому область определения - это все действительные числа, то есть (-∞, +∞).

2. Интервалы монотонности функции y = f(x) можно определить с помощью производной функции. Возьмем производную функции y = f(x):
f'(x) = 4x^3 - 12x^2

Чтобы найти интервалы монотонности, расположим значения x на числовой оси и проверим знак производной в разных интервалах.

f'(x) > 0, если x < 0 или x > 3
f'(x) < 0, если 0 < x < 3

Таким образом, функция f(x) монотонно убывает на интервале (0, 3) и монотонно возрастает на интервалах (-∞, 0) и (3, +∞).

3. Чтобы найти точки экстремумов функции y = f(x), нужно найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует. Найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 4x^3 - 12x^2
4x^3 - 12x^2 = 0
4x^2(x - 3) = 0

Таким образом, точки экстремумов функции y = f(x) находятся при x = 0 и x = 3.

4. Чтобы построить график функции y = f(x), нужно найти значения y при различных значениях x. Построим таблицу значений:

x | y = f(x)
-------------------
-2 | -19
-1 | 8
0 | 3
1 | 0
2 | -7
3 | 0
4 | 19

Теперь, используя эти значения, нарисуем график функции.

5. Чтобы построить график функции y = fʹ(x), нужно найти значения производной при различных значениях x. Возьмем производную функции f(x), которую мы уже нашли ранее:
f'(x) = 4x^3 - 12x^2

Подставим различные значения x и найдем соответствующие значения fʹ(x):

x | fʹ(x)
--------------------
-2 | 52
-1 | 8
0 | 0
1 | -8
2 | 52
3 | 0
4 | 160

Теперь построим график функции y = fʹ(x), используя полученные значения.

6. Чтобы определить число корней уравнения fʹ(x) = a, нужно исследовать знак производной и сравнить его с знаком числа a.

Если a > 0, то уравнение fʹ(x) = a имеет два корня.
Если a < 0, то уравнение fʹ(x) = a не имеет корней.
Если a = 0, то уравнение fʹ(x) = a имеет один корень.

Надеюсь, это понятно для вас, и вы смогли получить ответы на заданные вопросы. Если у вас возникли дополнительные вопросы, буду рад помочь!