Question

найти координаты проекции точки А=(4;7;7) на плоскость, заданную уравнением 3х+2у+2z+11=0

Answer 1

(-5; 1; 1)

Объяснение:

Найдём уравнение прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку A. Направляющим вектором данной прямой является вектор нормали плоскости, то есть вектор {3; 2; 2}. Составим каноническое уравнение прямой:

$\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-7}{2}=\dfrac{z-7}{2}=p$

Из этого уравнения составим параметрическое уравнение:

$\begin{cases}\dfrac{x-4}{3}=p,\\ \dfrac{y-7}{2}=p,\\ \dfrac{z-7}{2}=p\end{cases}\begin{cases}x=3p+4,\\ y=2p+7,\\ z=2p+7\end{cases}$

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, то есть проекцию данной точки, подставим координаты из параметрического уравнения в уравнение плоскости:

$3(3p+4)+2(2p+7)+2(2p+7)+11=0\\17p+51=0\\p=-3$

Подставляя найденное значение параметра, получим координаты искомой точки:

$x=3\cdot(-3)+4=-5\\y=2\cdot (-3)+7=1\\z=2\cdot (-3)+7=1$