Question

√(x+3) + √(3x-2)< 7

Решить неравенство!!

Answer 1

x ∈ [⅔; 6)

Объяснение:

$\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-2}$

ОДЗ:

$\left \{ {{x+3\geq 0,} \atop {3x-2\geq 0}} \right. \left \{ {{x\geq -3} \atop {x\geq2/3 }} \right.$    x ∈ [⅔; +∞)

Возводим в квадрат обе части уравнения:

(√(x + 3) + √(3x - 2))² < 7²

Решаем:

x + 3 + 2√((x + 3)(3x-2)) + 3x - 2 < 49

4x + 1 + 2√(3x² + 7x - 6) < 49

2√(3x² + 7x - 6) < 48 - 4х  | :2

√(3x² + 7x - 6) < 24 - 2x

Имеем два случая:

Если 1) 24 - 2x < 0, то нет корней;

2) 24 - 2x ≥ 0

(√(3x² + 7x - 6))² < (24 - 2x)² при 24 - 2x ≥ 0

ОДЗ: 3x² + 7x - 6 ≥ 0; (x+3)*(3x - 2) ≥ 0

  +      -        +

------•------•------>

     -3     ⅔

ОДЗ: x ∈ (-∞; -3] ∪ [⅔; +∞)

Решаем далее:

3x² + 7x - 6 < 4x² - 96x + 576

-x² + 103x - 582 < 0

(x - 6)*(x - 97) > 0   *корни уравнения x² - 103x + 582 = 0 были найдены по т-ме Виета

+         -        +

------о------о------>

     6        97

х ∈ (-∞; 6) ∪ (97; +∞)

Так как мы взяли 24 - 2х ≥ 0, то: 24 ≥ 2x; x ≤ 12.

х ∈ (-∞; 6) ∪ (97; +∞) при x ≤ 12, то у нас решение первого нер-ва: х ∈ (-∞; 6).

В итоге, решением заданного по условию неравенства является решение 1-го полученного неравенства и ограничения начального неравенства:

х ∈ (-∞; 6) при x ∈ [⅔; +∞)

Пересечением данных неравенств является интервал: x ∈ [⅔; 6). Это и будет ответом.

Answer 2

$\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x - 2} < 7 \\ \\ \\ ( \sqrt{x + 3} + \sqrt{3x - 2} {)}^{2} < {7}^{2} \\ \\ \\ {x + 3} + 2 \sqrt{(x + 3) \times ({3x - 2)} } + 3x - 2 < 49 \\ \\ \\ x + 3 + 2 \sqrt{3 {x}^{2} - 2x + 9x - 6 } + 3x - 2 < 49 \\ \\ \\ 2 \sqrt{3 {x}^{2} + 7x - 6 } < 48 - 4x \\ \\ \\ \sqrt{3 {x}^{2} + 7x - 6} < 24 - 2x \\ \\ \\ 24 - 2x \geqslant 0 \\ - 2x \geqslant - 24 \\ x \leqslant 12. \\ \\ \\ 24 - 2x < 0 \\ - 2x < - 24 \\ x 12.$

x ∈ ( -∞, 6) ∪ (97, +∞)

x ∈ ∅

Находим пересечение.

x ∈ ( -∞, 6)

x ∈ ∅

Находим объединение.

x ∈ [2/3; 6).

ответ: x ∈ [2/3; 6).