Question

Докажите равносильность неравенств:, 5sin²x-3sinxcosx-2cos²x>0 и 5tg²x-3tgx-2>0

Answer 1

Для того чтобы доказать равносильность неравенств, мы должны показать, что если одно неравенство выполняется, то и другое неравенство также выполняется, и наоборот.

Начнем с исходного неравенства: 5sin²x - 3sinxcosx - 2cos²x > 0.

1. Факторизация неравенства:
Известно, что sin²x + cos²x = 1, поэтому мы можем заменить sin²x в исходном неравенстве на (1 - cos²x):
5(1 - cos²x) - 3sinxcosx - 2cos²x > 0.

2. Упрощение:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
5 - 5cos²x - 3sinxcosx - 2cos²x > 0.
-7cos²x - 3sinxcosx + 5 > 0.

3. Факторизация:
Разложим полученное выражение на множители:
(-7cosx + 5)(cosx + 1) > 0.

Таким образом, мы получили равносильное неравенство: (-7cosx + 5)(cosx + 1) > 0.

Теперь рассмотрим второе неравенство: 5tg²x - 3tgx - 2 > 0.

1. Факторизация:
tg²x = (sinx/cosx)² = sin²x / cos²x,
tgx = sinx / cosx.

Заменим tg²x и tgx в исходном неравенстве:
5(sin²x / cos²x) - 3(sinx / cosx) - 2 > 0.

2. Упрощение:
Умножим обе части неравенства на cos²x, чтобы избавиться от знаменателя:
5sin²x - 3sinxcosx - 2cos²x > 0.

Это исходное неравенство совпадает с первым исходным неравенством, что показывает равносильность.

Таким образом, мы доказали, что исходная пара неравенств 5sin²x - 3sinxcosx - 2cos²x > 0 и 5tg²x - 3tgx - 2 > 0 равносильна.