Question

6. Найти число членов убывающей арифметической прогрессии ,если а2+a6=24;
а2 * a6 = 128. Sn =88.

Answer 1

Нужно знать:

1) арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом - разностью арифметической прогрессии (обозначают d), т.е. аₓ = аₓ₋₁ + d (нет в редакторе формул нижнего индекса - буквы n);

2) формула n-го члена: аₓ = а₁ + d(х - 1) - напоминаю буквы n нет;

3) формулы суммы n первых членов:

    Sₓ = (a₁ + aₓ)x/2, Sₓ = (2a₁ + d(x - 1))x/2.

Поэтому:

а₂ + а₆ = (а₁ + d) + (а₁ + 5d) = 2а₁ + 6d = 24, откуда а₁ + 3d = 12;                   (1)

а₂ · а₆ = (а₁ + d) · (а₁ + 5d) = а₁² + 5а₁d + а₁d + 5d² = а₁² + 6а₁d + 5d² = 128.   (2)

Выразим из (1) а₁ = 12 - 3d и подставив в (2), получим и решим уравнение:

(12 - 3d)² + 6(12 - 3d)d + 5d² = 128,

144 - 72d + 9d² + 72d - 18d² + 5d² = 128,

-4d² = 128 - 144,

-4d² = -16,

d² = 4,

d = -2, т.к. по условию прогрессия - убывающая,

тогда а₁ = 12 - 3 · (-2) = 12 + 6 = 18.

Теперь найдем значение n:

Sn = (2 · 18 - 2(n - 1)) · n / 2 = 88,

(36 - 2n + 2) · n = 176,

(38 - 2n) · n = 176,

2(19 - n) · n = 176,

19n - n² = 88,

-n² + 19n - 88 = 0,

n² - 19n + 88 = 0,

D = (-19)² - 4 · 1 · 88 = 361 - 352 = 9; √9 = 3;

n₁ = (19 + 3)/(2 · 1) = 22/2 = 11,

n₂ = (19 - 3)/(2 · 1) = 16/2 = 8.

Значит, в арифметической прогрессии число членов может быть 8 или 11.

ответ: 8 или 11.