Question

Найдите значения х, при которых значения функции у = –4x2 + x + 1 меньше значений функции у = 2 –4x

Answer 1

Для нахождения значений х, при которых значения функции у = –4x^2 + x + 1 меньше значений функции у = 2 –4x, мы должны сравнить их выражения.

У нас имеет место неравенство: –4x^2 + x + 1 < 2 –4x.

Перенесем все выражения на одну сторону неравенства:
–4x^2 + x + 1 - (2 –4x) < 0.

Выполним операцию сложения и вычитания на левой стороне:
–4x^2 + x + 1 - 2 + 4x < 0,
–4x^2 + 5x - 1 < 0.

Попробуем решить это неравенство с помощью метода интервалов.

1. Найдем корни квадратного уравнения -4x^2 + 5x - 1 = 0.

Используем формулу дискриминанта, чтобы определить, есть ли решения.
Дискриминант (D) = b^2 - 4ac.

В нашем случае:
a = -4,
b = 5,
c = -1.

D = (5)^2 - 4(-4)(-1) = 25 - 16 = 9.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня.
Для нахождения корней, используем формулу:
x = (-b ± √D) / (2a).

x1 = (–5 + √9) / (2 * -4) = (–5 + 3) / -8 = -2 / -8 = 1 / 4 = 0.25.
x2 = (–5 - √9) / (2 * -4) = (–5 - 3) / -8 = -8 / -8 = 1.

Получаем два корня: x1 = 0.25 и x2 = 1.

2. Построим интервалы на числовой прямой, чтобы определить, в каких интервалах неравенство выполняется или не выполняется.

Создадим таблицу с тремя интервалами: (-∞, x1), (x1, x2), и (x2, +∞).
Подставим в неравенство произвольные значения внутри каждого интервала и будем проверять результат.

-4 * (-1)^2 + 5 * (-1) - 1 = -4 - 5 - 1 = -10 < 0.
-4 * (0)^2 + 5 * (0) - 1 = -1 > 0.
-4 * (0.5)^2 + 5 * (0.5) - 1 = -2.5 < 0.
-4 * (1.5)^2 + 5 * (1.5) - 1 = 1 > 0.

Значит, для всех значений х в интервале (0, 0.25) и (1, +∞), неравенство выполняется.

Таким образом, значения х, при которых значения функции у = –4x^2 + x + 1 меньше значений функции у = 2 –4x, являются всеми значениями из интервала (0, 0.25) и (1, +∞).