Question

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,8 +13t - 5t^2 , где h — высота в метрах, t — время в секундах с момента броска. сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 м?

Answer 1

H(t)>=9
-5t^2+13t+1,8>=9
5t^2-13t+7,2=0
t=0,1(13+-sqrt(169-144)=0,1(13+-5)
t1=1,8
t2=0.8
t1-t2=1
ответ 1 с.

Answer 2

Для того, чтобы определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 метров, нам нужно решить уравнение h(t) ≥ 9, где h(t) равно высоте мяча в зависимости от времени.

Заменим h(t) в уравнении выражением 1,8 + 13t - 5t^2:

1,8 + 13t - 5t^2 ≥ 9

Перенесём все члены уравнения влево:

-5t^2 + 13t + 1,8 - 9 ≥ 0

Упростим это уравнение:

-5t^2 + 13t -7,2 ≥ 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a, b и c - коэффициенты в уравнении -5t^2 + 13t - 7,2.

В данном случае:
a = -5
b = 13
c = -7,2

Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (13)^2 - 4(-5)(-7,2)

D = 169 - 144

D = 25

Дискриминант D равен 25.

Теперь рассмотрим 3 возможных случая:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два реальных корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один реальный корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет реальных корней.

В нашем случае, так как D = 25 > 0, у нас есть два реальных корня.

Используя формулу корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √D) / (2a)

подставим значения a, b и D:

t = (-13 ± √25) / (2 * -5)

t = (-13 ± 5) / -10

Теперь рассмотрим два случая, проделав вычисления для каждого значения знака ±:

1. t = (-13 + 5) / -10 = -8/10 = -0,8
2. t = (-13 - 5) / -10 = -18/10 = -1,8

Оба значения времени являются отрицательными, что не имеет физического смысла.

Следовательно, наша задача решить уравнение -5t^2 + 13t -7,2 ≥ 0 в диапазоне положительных t.

Используем метод интервалов для решения этого неравенства.

Сначала найдём точки, где уравнение равно нулю:

-5t^2 + 13t -7,2 = 0

Мы уже знаем, что это уравнение имеет два реальных корня, поэтому найдём их используя формулу:

t = (-13 ± √25) / (2 * -5) <== здесь используем все значения, включая отрицательные

t = (-13 ± 5) / -10

1. t = (-13 + 5) / -10 = -8/10 = -0,8
2. t = (-13 - 5) / -10 = -18/10 = -1,8

Мы обнаружили, что наши два корня являются отрицательными, поэтому они находятся за пределами интервала положительных t, который нас интересует.

Теперь составим таблицу интервалов и проверим значения между ними:

( -∞, -1,8) | (-1,8, -0,8) |(-0,8, +∞)

Выберем тестовую точку в первом интервале, например, t = -2:
-5(-2)^2 + 13(-2) -7,2 ≥ 0
40 - 26 - 7,2 ≥ 0
6,8 ≥ 0

Так как 6,8 ≥ 0, первый интервал (-∞, -1,8) удовлетворяет неравенству.

Теперь проверим второй интервал с тестовой точкой, t = 0:
-5(0)^2 + 13(0) -7,2 ≥ 0
0 + 0 - 7,2 ≥ 0
-7,2 < 0

Так как -7,2 < 0, второй интервал (-1,8, -0,8) не удовлетворяет неравенству.

И наконец, проверим третий интервал с тестовой точкой, например, t = 1:
-5(1)^2 + 13(1) -7,2 ≥ 0
-5 + 13 - 7,2 ≥ 0
0,8 ≥ 0

Так как 0,8 ≥ 0, третий интервал (-0,8, +∞) также удовлетворяет неравенству.

Итак, мы нашли два интервала, в которых уравнение -5t^2 + 13t -7,2 ≥ 0 истинно, это: (-∞, -1,8) и (-0,8, +∞).

Теперь, чтобы ответить на вопрос "сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 м?", мы должны определить длительность временного интервала, в котором мяч будет находиться на высоте не менее 9 метров. Для этого нам нужно вычислить длину интервала времени между двумя корнями, которые мы нашли ранее.

Длина интервала времени = |второй корень - первый корень|

Длина интервала времени = |-0.8 - (-1.8)| = |-0.8 + 1.8| = |1|

Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее 9 метров в течение одной секунды.