Question

Y=3x^5-5x^3+2 исследовать функцию полное

Answer 1

Объяснение:

$\displaystyle y=3x^5-5x^3+2$

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. Четность, нечетность.

$\displaystyle y(-x)=3(-x)^5-5(-x)^3+2=-3x^5+5x^3+2\\\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями.

$1) \;x=0;\;\;\;y=2\\\\2)\;y=0;\;\;\;x=-1,4;\;x=1$

(корни найдены с онлайн калькулятора)

4. Функция непрерывна, асимптот не имеет.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к 0. Найдем корни, отметим их на числовой оси и определим знак производной на промежутках.

Если "+" - функция возрастает, "-" - убывает.

$y'=3*5x^4-5*3x^2=15x^4-15x^2=15x^2(x-1)(x+1)\\\\x_1=0;\;\;\;x_2=1;\;\;\;x_3=-1$

Функция возрастает при х ∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞)

Функция убывает при х ∈ [-1; 1]

$\displaystyle x_{max}=-1;\;\;\;\;\;x_{min}=0\\\\y(-1)=4;\;\;\;\;\;y(1)=0$

См. рис.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем производную второго порядка, приравняем к 0. Найдем корни, отметим их на числовой оси и определим знак второй производной на промежутках.

Если "+" - функция вогнута, "-" - выпукла.

$\displaystyle y''=15*4x^3-15*2x=60x^3-30x=30x(2x^2-1)=30x(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1) \\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=\frac{\sqrt{2} }{2}\approx 0,7;\;\;\;\;\;x_3=-\frac{\sqrt{2} }{2} \approx -0,7$

Функция выпукла при х ∈ (-∞; -0,7] ∪ [0; 0,7];

Функция вогнута при х ∈ [-0,7; 0] ∪ [0,7; +∞)

x перегиба = {-0,7; 0; 0,7}

$y(-0,7)\approx 3,2;\;\;\;y(0)=2;\;\;\;\;\;y(0,7)\approx 0,8$

Строим график: