Question

Решите уравнение (x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1

Answer 1

$\textbf{(}\textbf{x}^\textbf{2}\textbf{-5}\textbf{x}\textbf{+7}\textbf{)}^\textbf{2}\textbf{-(x-2)(x-3)}\textbf{=1}$
$\textbf{(}\textbf{x}^\textbf{2}\textbf{-5x+7)}^\textbf{2}\textbf{-(}\textbf{x}^2\textbf{-5x+6)}\textbf{-1=0}$

Пусть $\textbf{x}^2\textbf{-5x=t,}$ тогда имеем:

$\textbf{(t}^\textbf{2}\textbf{+14t+49)-(t+6)-1=0} \\ \\ \textbf{t}^2\textbf{+14t+49-6-t-1=0} \\ \\ \textbf{t}^2\textbf{+13t+42=0}$

Найдем дискриминант.

$\textbf{D=b}^\textbf{2}\textbf{-4ac}=\textbf{13}^\textbf{2}\textbf{-4}\cdot\textbf{1}\cdot\textbf{42}\textbf{=1}$

D>0, значит уравнение имеет 2 корня.
Воспользуемся формулой 
                         $\textbf{t}_{\textbf{1,2}}\textbf{=} \dfrac{\textbf{-b}\pm \sqrt{\textbf{D}} }{2a}$

$\textbf{t}_\textbf{1}\textbf{=} \frac{\textbf{-13-1}}{\textbf{2}} =\textbf{-7};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textbf{t}_\textbf{2}\textbf{=} \frac{\textbf{-13+1}}{\textbf{2}} \textbf{=-6}$

Возвращаемся к замене:

$\textbf{x}^\textbf{2}\textbf{-5x=-7} \\ \textbf{x}^\textbf{2}\textbf{-5x+7=0} \\ \textbf{D=b}^\textbf{2}\textbf{-4ac=(-5)}^\textbf{2}\textbf{-4}\cdot\textbf{1}\cdot\textbf{7}\textbf{=-3}$
D<0, значит уравнение корней не имеет.

$\textbf{x}^\textbf{2}\textbf{-5x+6=0}$

По т. Виета:
$\left \{ {{\textbf{x}_\textbf{1}\textbf{+x}_\textbf{2}\textbf{=5}} \atop {\textbf{x}_\textbf{1}\cdot\textbf{x}_\textbf{2}\textbf{=6}}} \right. \to \left \{ {{\textbf{x}_\textbf{1}\textbf{=2}} \atop {\textbf{x}_\textbf{2}\textbf{=3}}} \right.$

ответ: 2;3.

Answer 2

(x²-5x+7)²-(x²-5x+6)-1=0
x²-5x+7=a⇒x²-5x+6=a-1
a²-(a-1)-1=0
a²-a+1-1=0
a(a-1)=0
a=0⇒x²-5x+7=0
D=25-28=-3<0-нет решения
а=1⇒x²-5x+7=1⇒x²-5x+6=0
x1+x2=5 U x1*x2=6
x1=2 U x2=3