Question

F(x)=tg2x/1+cosx
Определить четность или нечётность функции

!

Answer 1

Чтобы определить, является ли функция F(x) четной или нечетной, нужно применить два свойства:

1. Четность функции: F(x) является четной функцией, если выполняется условие F(-x) = F(x) для любого значения x в области определения функции.

2. Нечетность функции: F(x) является нечетной функцией, если выполняется условие F(-x) = -F(x) для любого значения x в области определения функции.

В данном случае, функция F(x) = tg^2x/(1+cosx). Давайте проверим ее на четность и нечетность по очереди.

1. Проверка на четность: Заменяем x на -x в исходной функции и сравниваем с исходной функцией.

F(-x) = tg^2(-x)/(1+cos(-x))

Так как тангенс является нечетной функцией, то его квадрат также будет нечетным, а косинус является четной функцией, то cos(-x) = cos(x), а (1+cos(-x)) = (1+cos(x)). Тогда:

F(-x) = [tg(-x)]^2/(1+cos(-x))

F(-x) = [(-tgx)]^2/(1+cos(x))

F(-x) = tg^2x/(1+cos(x)) = F(x)

Таким образом, функция F(x) является четной функцией.

2. Проверка на нечетность: Заменяем x на -x в исходной функции и сравниваем с исходной функцией, умноженной на -1.

-F(x) = -(tg^2x/(1+cosx))

-F(x) = -tg^2x/(1+cosx)

Таким образом, функция -F(x) не равна F(-x), а на самом деле противоположна ей.

Итак, функция F(x) является только четной функцией.