Question

Дан треугольник с вершинами а2,-1, в-7, 3, с-1,-5. составить уравнение биссектрисы угла с

Answer 1

Есть два решить данную задачу , первый очень сложный в плане решение системы . 
Второй более легкий.
Найдем длины сторон к каждой стороны $AC;BC;AB$ , по формуле 
$L=\sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2}\\$    , в итоге получим 
$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5\\ BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\\ AB=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$
Теперь по формуле биссектриса  проведенная к стороне АВ  равна 
  $L=\frac{\sqrt{10*5(10+5+\sqrt{97})(10+5-\sqrt{97})}}{10+5}=\frac{\sqrt{50(15+\sqrt{97})(15-\sqrt{97})}}{15}$                                             теперь найдем угол $ACB$ ,   по теореме косинусов 
$97=10^2+5^2-2*5*10*cosACB\\ cosACB=cosz\\ cosz=\frac{7}{25}\\ z=arccos(\frac{7}{25})$
Найдем теперь длину отрезка     $AH$ 
 $AH^2=(\frac{\sqrt{50(15+\sqrt{97})(15-\sqrt{97})}}{15})^2+25-2*5*(\frac{\sqrt{50(15+\sqrt{97})(15-\sqrt{97})}}{15})*cos(\frac{arccos\frac{7}{25}}{2})\\ cos(\frac{arccos\frac{7}{25}}{2})=\frac{4}{5}\\ \\ AH=\sqrt{\frac{97}{9}}\\$    

Пусть координата точки $A_{1}(x;y)$ где $A_{1}$  это биссектриса $CA_{1}$ , тогда удовлетворяет система 
$\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}=\frac{\sqrt{97}}{3}\\ \sqrt{(-7-x)^2+(3-y)^2}=\frac{2\sqrt{97}}{3}\\ \\ ((x-2)^2+(y+1)^2)=\frac{97}{9}\\ (-7-x)^2+(3-y)^2=\frac{4*97}{9}\\ \\ 9y^2+18y+9x^2-36x-52=0 \\ 9y^2-54y+9x^2+126x+134=0\\ 18y+54y-36x-126x-52-134=0\\ 72y-162x-186=0\\ x=-1\\ y=\frac{1}{3}$
то есть мы нашли координаты  $A_{1}$ , найдем теперь уравнение прямой 
$C(-1;-5)\\ A_{1}(-1;\frac{1}{3})\\ \\ \frac{x+1}{-1+1} =\frac{y+5}{\frac{1}{3}+5}\\ \frac{16}{3}(x+1)=0\\ x=-1$
то есть это прямая параллельная оси ОУ