Question

Исследуйте функцию y=2sin 3x на монотонность на заданном промежутке а)[0; п/2] ; 0) в)(2п/3; 5п/3) г)(3; 9).

Answer 1

Возьмем производную

$y'=2 \cdot (\sin3x)'=2 \cdot \cos 3x \cdot (3x)' = 6\cos3x \\ \\ y'=0, \ \ 6\cos3x=0; \ \ \cos 3x=0 \\ \\ 3x = \frac{\pi}{2}+ \pi n, \ n \in Z; \ \ x = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \ n \in Z$

a) [0; pi/2]

функция возрастает на $0 \leq x < \frac{\pi}{6}$

убывает на $\frac{\pi}{6} \ \textless \ x \ \textless \ \frac{\pi}{2}$

б) (-1; 0)

функция возрастает на $-\frac{\pi}{6} < x \leq 0$

убывает на $-1 \leq x \ \textless \ -\frac{\pi}{6}$


в) (2pi/3; 5pi/3)

функция возрастает на $\frac{2pi}{3} \leq x < \frac{5pi}{6} \ \cup \ \frac{7pi}{6}<x<\frac{3\pi}{2}$

убывает на $\frac{5pi}{6} < x < \frac{7pi}{6} \ \cup \ \frac{3pi}{2}<x \leq \frac{5\pi}{3}$

г) (3; 9)

функция возрастает на $\frac{7 \pi}{6} \leq x< \frac{3\pi}{2} \ \cup \ \frac{11\pi}{6} <x< \frac{13\pi}{6} \ \cup \ \frac{5 \pi}{2} < x \leq \frac{17 \pi}{6}$

убывает на $3 \leq x\ \textless \ \frac{7\pi}{6} \ \cup \ \frac{3\pi}{2} \ \textless \ x\ \textless \ \frac{11\pi}{6} \ \cup \ \frac{13 \pi}{6} \ \textless \ x\ \textless \ \frac{5\pi}{2} \ \cup \ \frac{17 \pi}{6} \ \textless \ x \leq 9$