Question

Решить тригонометрическое уравнение фото прилагается

Answer 1

$\frac{\sqrt{\cos^2(x)+\cos(x)}}{\sin(x)}+1 =0\\\left \{ {{\sqrt{\cos^2(x)+\cos(x)}=-\sin(x)} \atop {\sin(x) \neq 0}} \right.\\$

Для решения воспользуемся равносильным переходом.

$\sqrt{f(x)} = g(x) \left \{ {{f(x) = g^2(x)} \atop {g(x)\geq 0}} \right.$

$\\\left \{ {\cos^2(x)+\cos(x)=\sin^2(x)} \atop {\sin(x)$

Решим первое уравнение системы и затем на тригонометрической окружности пересечем с неравенством $\sin(x) < 0$ .

$\cos(x)(2\cos(x)+1) = 0\\a) \cos(x) =0; x = \frac{\pi}{2}+\pi k ,k \in \mathbb{Z}\\b) 2\cos(x)+1 =0; \cos(x) = - \frac{1}{2}; x = ^+_- \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\\$

*окружность с проверкой корней прикреплена*

$Ans: \\x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k , k \in \mathbb{Z}\\x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k , k \in \mathbb{Z}$