Question

Игральную кость бросили один, два, три или четыре раза. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 6. Какова вероятность того, что потребовалось сделать один бросок.

Answer 1

Пусть событие $A$ - "выпало 6 очков", а событие $B_i$ - "было произведено i бросков".

Предполагается, что количество бросков определяется случайно, то есть:

$P(B_1)=P(B_2)=P(B_3)=P(B_4)=p=\dfrac{1}{4}$

В данном случае конкретное числовое значение не столь важно, главное что оно одинаково для всех гипотез.

Для решения задачи понадобится формула Байеса:

$P(B_1)\cdot P(A|B_1)=P(A)\cdot P(B_1|A)$

Нам нужно найти вероятность того, что был 1 бросок, при условии того, что выпало 6 очков:

$P(B_1|A)=\dfrac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A)}$

Распишем полную вероятность:

$P(B_1|A)=$

$=\dfrac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)+P(B_4)P(A|B_4)}=$

$=\dfrac{p\cdot P(A|B_1)}{p\cdot P(A|B_1)+p\cdot P(A|B_2)+p\cdot P(A|B_3)+p\cdot P(A|B_4)}=$

$=\dfrac{P(A|B_1)}{P(A|B_1)+P(A|B_2)+P(A|B_3)+P(A|B_4)}$

Найдем вероятности выпадения 6 очков при 1, 2, 3, 4 бросках.

При одном броске вероятность выпадения 6 очков, как и любого другого количества очков:

$P(A|B_1)=\dfrac{1}{6}$

При двух бросках, 6 очков может выпасть в следующих комбинациях:

{1; 5} - 2 вариант

(3; 3) - 1 вариант

{4; 2} - 2 вариант

Благоприятных вариантов - 5. Общее количество вариантов выпадения комбинации на двух кубиках равно $6^2$.

$P(A|B_2)=\dfrac{5}{6^2}$

При трех бросках, 6 очков может выпасть в следующих комбинациях:

{1; 1; 4} - 3 варианта

(1; 2; 3) - 6 вариантов

Благоприятных вариантов - 9.Общее количество вариантов выпадения комбинации на трех кубиках равно $6^3$.

$P(A|B_3)=\dfrac{9}{6^3}$

При четырех бросках, 6 очков может выпасть в следующих комбинациях:

{1; 1; 1; 3} - 4 варианта

(1; 1; 2; 2) - 6 вариантов

Благоприятных вариантов - 10.Общее количество вариантов выпадения комбинации на четырех кубиках равно $6^4$.

$P(A|B_4)=\dfrac{10}{6^4}$

Таким образом, искомая вероятность:

$P(B_1|A)=\dfrac{\dfrac{1}{6} }{\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6^2}+\dfrac{9}{6^3}+\dfrac{10}{6^4}}=\dfrac{6^3}{6^3+5\cdot6^2+9\cdot6+10}=$

$=\dfrac{216}{216+180+54+10}=\dfrac{216}{460}=\dfrac{54}{115}$

ответ: 54/115