Question

Что мы можем в данном случае сделать с девяткой вне модуля,чтобы использовать свойство |a|-|b|=a-b?

Answer 1

$|x^2+9x+18|-9|x+2|=x^2$

Подмодульные выражения обращаются в нуль

1)

$x^2+9x+18=0\\D=9^2-4\cdot 18=9\\x_{1}=\frac{-9-3}{2}=-6; x_{1}=\frac{-9+3}{2}=-3;$

2)

$x+2=0\\x=-2$

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка

Раскрываем знак модуля на каждом из промежутков

(-∞;-6]

$|x^2+9x+18|=x^2+9x+18|x+2|=-x-2$

Уравнение принимает вид:

$x^2+9x+18-9(-x-2)=x^2\\18x+36=0\\x=-2$

не принадлежит рассматриваемому промежутку, значит уравнение не имеет корней на (-∞;-6)  

(-6;-3]  

$|x^2+9x+18|=-(x^2+9x+18)|x+2|=-x-2$

Уравнение принимает вид:

$-(x^2+9x+18)-9(-x-2)=x^2\\2x^2=0\\x=0$

не принадлежит рассматриваемому промежутку, значит уравнение не имеет корней на (-6;-3)  

(-3;-2]  

$|x^2+9x+18|=(x^2+9x+18)|x+2|=-x-2$

Уравнение принимает вид:

$(x^2+9x+18)-9(-x-2)=x^2x=-2$

принадлежит рассматриваемому промежутку(-3;-2]  , значит уравнение  имеет корень  х=-2

(2;+∞)  

$|x^2+9x+18|=(x^2+9x+18)|x+2|=x+2$

Уравнение принимает вид:

$(x^2+9x+18)-9(x+2)=x^20x=0$

 уравнение верно при любых x∈(2;+∞)

О т в е т.  {2} U (2;+∞)  =[2;+∞)