Решите уравнения, используя умножение на сопряженное уравнение: $$\sqrt{3{x}^{2}-7x+3}-\sqrt{{x}^{2}-2}=\sqrt{3{x}^{2}-5x-1}-\sqrt{{x}^{2}-3x+4}$$ √(3х²-7х+3)-√(х²-2)=√(3х²-5х-1)-√(х²-3х+4) решите с объяснением
Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово с помощью умножения на сопряженное уравнение.
1. У нас есть следующее уравнение: $$\sqrt{3{x}^{2}-7x+3}-\sqrt{{x}^{2}-2}=\sqrt{3{x}^{2}-5x-1}-\sqrt{{x}^{2}-3x+4}$$
2. Возьмем каждую из разностей квадратных корней и умножим ее на сопряженное уравнение. Сопряженное уравнение получается при замене "+" на "-" (или наоборот) перед вторым квадратным корнем. Таким образом, наше уравнение станет следующим:
$$[\sqrt{3{x}^{2}-7x+3}-\sqrt{{x}^{2}-2}][\sqrt{3{x}^{2}-7x+3}+\sqrt{{x}^{2}-2}]=[\sqrt{3{x}^{2}-5x-1}-\sqrt{{x}^{2}-3x+4}][\sqrt{3{x}^{2}-5x-1}+\sqrt{{x}^{2}-3x+4}]$$
3. Воспользуемся формулой разности квадратов для каждой пары квадратных корней слева и справа:
$$(\sqrt{3{x}^{2}-7x+3})^2-(\sqrt{{x}^{2}-2})^2=(\sqrt{3{x}^{2}-5x-1})^2-(\sqrt{{x}^{2}-3x+4})^2$$
4. Вычислим каждое из произведений $[(\sqrt{3{x}^{2}-7x+3})^2-(\sqrt{{x}^{2}-2})^2]$ и $[(\sqrt{3{x}^{2}-5x-1})^2-(\sqrt{{x}^{2}-3x+4})^2]$ как разность квадратов:
5. Выполним раскрытие скобок и объединение похожих членов справа и слева:
$$2{x}^{2}-5x+5= -1$$
6. Перенесем все члены уравнения влево и приведем его к каноническому виду:
$$2{x}^{2}-5x+6= 0$$
7. Теперь мы должны решить это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратную формулу. Оба способа приведут к одному и тому же ответу. Давайте воспользуемся квадратной формулой.
Итак, формула для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ это:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
В нашем случае $a = 2$, $b = -5$, и $c = 6$. Применяя формулу, мы получаем:
8. Так как в выражении под корнем получается отрицательное число, то это означает, что у нас нет решений в области действительных чисел. Ответ: уравнение не имеет решения в области действительных чисел.
1. У нас есть следующее уравнение: $$\sqrt{3{x}^{2}-7x+3}-\sqrt{{x}^{2}-2}=\sqrt{3{x}^{2}-5x-1}-\sqrt{{x}^{2}-3x+4}$$
2. Возьмем каждую из разностей квадратных корней и умножим ее на сопряженное уравнение. Сопряженное уравнение получается при замене "+" на "-" (или наоборот) перед вторым квадратным корнем. Таким образом, наше уравнение станет следующим:
$$[\sqrt{3{x}^{2}-7x+3}-\sqrt{{x}^{2}-2}][\sqrt{3{x}^{2}-7x+3}+\sqrt{{x}^{2}-2}]=[\sqrt{3{x}^{2}-5x-1}-\sqrt{{x}^{2}-3x+4}][\sqrt{3{x}^{2}-5x-1}+\sqrt{{x}^{2}-3x+4}]$$
3. Воспользуемся формулой разности квадратов для каждой пары квадратных корней слева и справа:
$$(\sqrt{3{x}^{2}-7x+3})^2-(\sqrt{{x}^{2}-2})^2=(\sqrt{3{x}^{2}-5x-1})^2-(\sqrt{{x}^{2}-3x+4})^2$$
4. Вычислим каждое из произведений $[(\sqrt{3{x}^{2}-7x+3})^2-(\sqrt{{x}^{2}-2})^2]$ и $[(\sqrt{3{x}^{2}-5x-1})^2-(\sqrt{{x}^{2}-3x+4})^2]$ как разность квадратов:
$$(3{x}^{2}-7x+3)-({x}^{2}-2)= (3{x}^{2}-5x-1)-({x}^{2}-3x+4)$$
5. Выполним раскрытие скобок и объединение похожих членов справа и слева:
$$2{x}^{2}-5x+5= -1$$
6. Перенесем все члены уравнения влево и приведем его к каноническому виду:
$$2{x}^{2}-5x+6= 0$$
7. Теперь мы должны решить это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратную формулу. Оба способа приведут к одному и тому же ответу. Давайте воспользуемся квадратной формулой.
Итак, формула для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ это:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
В нашем случае $a = 2$, $b = -5$, и $c = 6$. Применяя формулу, мы получаем:
$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4(2)(6)}}{2(2)}$$
$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-48}}{4}$$
$$x = \frac{5 \pm \sqrt{-23}}{4}$$
8. Так как в выражении под корнем получается отрицательное число, то это означает, что у нас нет решений в области действительных чисел. Ответ: уравнение не имеет решения в области действительных чисел.