Question

РЕШИТЬ Доказать методом встречных включений , что для произвольных множеств А, В и С справедливо равенство;

Answer 1

Первое множество состоит из только тех $x$, которые принадлежат ровно одному из множеств $A$ или $B$. Поэтому всякий $x$ из этого множества принадлежит либо только $A$ (то есть множеству $A\cap \overline{B}$), либо только $B$ (то есть множеству $B\cap\overline{A}$). Следовательно, $(A\cup B)\backslash (A\cap B) \subseteq (A\cap \overline{B})\cup (B\cap \overline{A})$.

Второе множество состоит из тех $x$, для которых либо $x\in A\cap \overline{B}$, либо $x\in B\cap\overline{A}$. Отсюда следует, что $x\in A\cup B$. Если при этом $x\in A\cap B$, то он не принадлежит ни одному из указанных множеств, противоречие, потому $x\notin A\cap B$, значит, $x\in (A\cup B)\backslash (A\cap B)\Rightarrow (A\cap \overline{B})\cup (B\cap \overline{A})\subseteq (A\cup B)\backslash (A\cap B)$, откуда $(A\cap \overline{B})\cup (B\cap \overline{A})= (A\cup B)\backslash (A\cap B)$.