Question

доказать тождество
1-sina-cosa = 2√2sin(a/2)sin(a/2-45°)

Answer 1

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Давайте начнем разбирать каждое слагаемое по отдельности.

1. Раскроем левую часть тождества:
1 - sin(a) - cos(a)

2. Вспомним формулу синуса разности:
sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)

3. Заметим, что в правой части тождества есть слагаемое со синусом разности и углом 45°, поэтому разложим его:
sin(a/2 - 45°) = sin(a/2)cos(45°) - cos(a/2)sin(45°)
sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 (значение синуса и косинуса угла 45°)
Подставим это значение:
sin(a/2 - 45°) = sin(a/2)*(1/√2) - cos(a/2)*(1/√2)
sin(a/2 - 45°) = (sin(a/2) - cos(a/2))/√2

4. Теперь домножим обе части на 2√2:
2√2*(1 - sin(a) - cos(a)) = 2√2*(sin(a/2) - cos(a/2))/√2
Упростим:
2√2 - 2√2*sin(a) - 2√2*cos(a) = 2*(sin(a/2) - cos(a/2))
Раскроем скобки в правой части:
2√2 - 2√2*sin(a) - 2√2*cos(a) = 2*sin(a/2) - 2*cos(a/2)

5. Распишем правую часть тождества:
2*sin(a/2) - 2*cos(a/2) = 2*(√2*sin(a/2)*cos(45°) - √2*cos(a/2)*sin(45°))
sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 (значение синуса и косинуса угла 45°)
Упростим:
2*sin(a/2) - 2*cos(a/2) = 2*(√2*sin(a/2)*(1/√2) - √2*cos(a/2)*(1/√2))
2*sin(a/2) - 2*cos(a/2) = 2*(sin(a/2) - cos(a/2))

6. Мы получили, что каждая часть тождества равна 2*(sin(a/2) - cos(a/2)).
Значит, тождество 1 - sin(a) - cos(a) = 2√2*sin(a/2)*sin(a/2 - 45°) доказано.

Таким образом, мы доказали данное тождество, используя свойства тригонометрических функций и тригонометрические формулы.