Question

18 вариант 3-4 задание решите

Answer 1

$3)\ \ z=x^2-xy+y^2+9x-6y+20z'_{x}=2x-y+9\ \ ,\ \ \ z'_{y}=-x+2y-6$

Необходимые условия .

$\left\{\begin{array}{l}2x-y+9=0\\-x+2y-6=0\ |\cdot (2)\end{array}\right\ \oplus \ \left\{\begin{array}{l}2x=y-9\\3y-3=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}2x=-8\\y=1\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x=-4\\y=1\end{array}\right$

Критическая точка  $M_0(-4\, ;\ 1\ )$   .

Проверим достаточные условия.

$z''_{xx}=2\ \ ,\ \ \ z''_{xy}=-1\ \ ,\ \ \ z''_{yy}=2A=z''_{xx}(M_0)=2\ \ ,\ \ \ B=z''_{xy}(M_0)=-1\ \ ,\ \ \ C=z''_{yy}(M_0)=2Delta =\left|\begin{array}{ccc}A&B\\B&C\end{array}\right|=AC-B^2=2\cdot 2-(-1)^2=4-1=30\ \ \ \Rightarrow$

функция имеет экстремум и так как А>0 , то это минимум .

Вычислим значение минимума функции.

$z(M_0)=z(-4\, ;\, 1\, )=16+4+1-36-6+20=-1$

$4)\ \ u=\dfrac{z}{y^2}+x\ \ \ ,\ \ \ M(\, 2;2;-1)u'_{x}=1\ \ \ ,\ \ \ u'_{y}=z\cdot (-2\cdot y^{-3})=-\dfrac{2z}{y^3}\ \ \ ,\ \ \ u'_{z}=\dfrac{1}{y^2}u'_{x}(M)=1\ \ ,\ \ u'_{y}(M)=-\dfrac{-2}{2^3}=\dfrac{1}{4}=-0,25\ \ \ ,\ \ \ u'_{z}(M)=\dfrac{1}{4}=0,25overline{grad\, u}\, \Big|_{M}=\vec{i}-0,25\, \vec{j}+0,25\, \vec{k}|\, \overline{grad\, u}\, |=\sqrt{1+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}}=\sqrt{\dfrac{18}{16}}=\sqrt{\dfrac{9}{8}}=\dfrac{3}{2\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{4}$