4. Промежутки знакопостоянства при х ∈(0;1) F(x)<0; при х ∈(1;+∞) F(x)>0
5. Функция непериодическая.
6. Функция не является ни четной, ни нечетной. т.к. область определения не симметрична относительно начала отсчета.
7. Асимтптоты. т.к. предел функции при х стремящемся к ±∞ равен ±∞, то горизонтальные асимптоты справа и слева отсутствуют. Вертикальных асимптот тоже нет. Функция в области определения непрерывна. Наклонные асимптоты ищем в виде у=кх+b, где к-предел отношения F(х)/x при х стремящемся к ∞, этот предел равен 1, а b = пределу (F(x)-kx) при х стремящемся к ∞, и он равен -∞. Поэтому наклонных асимптот нет.
8. Промежутки монотонности. Первая производная равна 1-1/(2√х)=(2√х-1)/(2√х), она равна нулю при х=1/4, и производная отрицательна при х∈(0;1/4) здесь функция убывает. и положительна при х∈(1/4;+∞) здесь функция возрастает.
9. Экстремумы. При переходе через точку х=1/4 производная меняет знак с минуса на плюс. х=1/4- точка минимума. Минимум равен 1/4-√1/4=-1/4
10. Вторая производная равна 1/(4х³/²) в области определения положительна, поэтому график вогнут. Точек перегиба нет.
Y(x)=x²+4, х₀=1, k=4 угловой коэффициент касательной к функции равен значению производной функции в точке касания, т.е. k=y'(x₀) 1) найдем производную: y'(x)=(x²+4)'=2x k=y'(x₀)=y'(1)=2*1=2 - угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀=1 2) теперь известен угловой коэффициент k=4, но неизвестна точка касания x₀, т.е. y'(x₀)=k 2*x₀=4 x₀=2 чтобы найти ординату точки, подставим x₀ в функцию y(x): y₀=y(x₀)=2²+4=4+4=8 (2;4) - координаты точки, в которой угловой коэффициент касания равен k=4 3) уравнение касательной в общем виде: f(x)=y(x₀)+y'(x₀)*(x-x₀) x₀=1, y'(x₀)=2 - найдено выше под 1) y(x₀)=1²+4=5 подставляем найденные значения в общий вид: f(x)=5+2(x-1)=5+2x-2=2x+3 - уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀=1
1.D(F)=[0;+∞)
1.Е(F)=[0;+∞)
3. Нули функции x-√x=0; √х*(√x-1)=0; x=0 ;x=1.
4. Промежутки знакопостоянства при х ∈(0;1) F(x)<0; при х ∈(1;+∞) F(x)>0
5. Функция непериодическая.
6. Функция не является ни четной, ни нечетной. т.к. область определения не симметрична относительно начала отсчета.
7. Асимтптоты. т.к. предел функции при х стремящемся к ±∞ равен ±∞, то горизонтальные асимптоты справа и слева отсутствуют. Вертикальных асимптот тоже нет. Функция в области определения непрерывна. Наклонные асимптоты ищем в виде у=кх+b, где к-предел отношения F(х)/x при х стремящемся к ∞, этот предел равен 1, а b = пределу (F(x)-kx) при х стремящемся к ∞, и он равен -∞. Поэтому наклонных асимптот нет.
8. Промежутки монотонности. Первая производная равна 1-1/(2√х)=(2√х-1)/(2√х), она равна нулю при х=1/4, и производная отрицательна при х∈(0;1/4) здесь функция убывает. и положительна при х∈(1/4;+∞) здесь функция возрастает.
9. Экстремумы. При переходе через точку х=1/4 производная меняет знак с минуса на плюс. х=1/4- точка минимума. Минимум равен 1/4-√1/4=-1/4
10. Вторая производная равна 1/(4х³/²) в области определения положительна, поэтому график вогнут. Точек перегиба нет.
График функции см. ниже.