1. Является ли пара чисел (1; -3) решением уравнения 2у - 3х = -9.
2. Решите графически систему уравнений:
у=х²+2,
у=х+4.
3. Одна сторона прямоугольника на 7 см короче другой, а его диагональ равна 13
см. Найдите стороны прямоугольника.
4. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
х²+у²≤ 9
Подставим значения:
2*(-3) - 3*1 = -6 - 3 = -9
Мы видим, что математические операции выполняются, и мы получаем справа то же значение, что и слева. Значит, пара чисел (1; -3) является решением уравнения 2у - 3х = -9.
2. Для решения графически системы уравнений у=х²+2 и у=х+4, мы должны нарисовать график обоих уравнений на координатной плоскости и найти точку пересечения.
Для начала построим график первого уравнения у=х²+2. Для этого выберем несколько значений для х и найдем соответствующие значения у. Например:
х = -2, у = (-2)²+2 = 4+2 = 6
х = -1, у = (-1)²+2 = 1+2 = 3
х = 0, у = 0²+2 = 2
х = 1, у = 1²+2 = 1+2 = 3
х = 2, у = 2²+2 = 4+2 = 6
Теперь построим график второго уравнения у=х+4. Также выберем несколько значений для х и найдем соответствующие значения у:
х = -3, у = -3+4 = 1
х = -2, у = -2+4 = 2
х = -1, у = -1+4 = 3
х = 0, у = 0+4 = 4
х = 1, у = 1+4 = 5
х = 2, у = 2+4 = 6
Теперь нарисуем оба графика на координатной плоскости. Если они пересекаются в одной точке, то этот точка является решением системы уравнений. Если они не пересекаются, то система уравнений не имеет решений.
Посмотрим на графики и видим, что они пересекаются в точке (2; 6). Значит, (2; 6) - решение системы уравнений у=х²+2 и у=х+4.
3. Дано, что одна сторона прямоугольника на 7 см короче другой, а диагональ равна 13 см.
Пусть одна сторона прямоугольника равна х см (меньшая сторона), а другая сторона равна (х + 7) см (большая сторона).
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения х, так как у нас есть диагональ (гипотенуза) и две стороны прямоугольника (катеты).
Из теоремы Пифагора мы знаем, что диагональ в квадрате равна сумме квадратов катетов.
Таким образом, у нас есть уравнение:
х² + (х + 7)² = 13².
Раскроем скобки и решим уравнение:
х² + (х² + 14х + 49) = 169.
Комбинируем подобные элементы:
2х² + 14х + 49 = 169.
Переносим всё в одну сторону уравнения:
2х² + 14х - 120 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать факторизацию или формулу для нахождения корней. Но поскольку нас интересуют только значения x, нам необходимо упростить выражение.
Разделим все коэффициенты на 2, чтобы упростить выражение:
х² + 7х - 60 = 0.
Теперь мы можем факторизировать это уравнение:
(х - 5)(х + 12) = 0.
Таким образом, мы получаем два возможных значения для х: х = 5 и х = -12.
Поскольку стороны не могут быть отрицательными, мы выбираем х = 5.
Теперь мы можем использовать это значение для нахождения другой стороны:
х + 7 = 5 + 7 = 12.
Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.
4. Нам нужно изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства х² + у² ≤ 9. Это является неравенством окружности с радиусом 3 и центром в начале координат.
Для начала нарисуем окружность с радиусом 3. Центр находится в точке (0, 0) и радиус указывается равным 3.
Затем определим, какие точки лежат внутри окружности или на самой окружности. Чтобы определить это, мы можем использовать тестовую точку вроде (0, 0), (1, 0), (0, 1) и т.д.
Для каждой точки проверяем, выполняется ли неравенство х² + у² ≤ 9. Если выполняется, мы отмечаем эту точку.
Соединяем все такие отмеченные точки и получаем графическое представление множества решений неравенства.
На координатной плоскости получается закрашенная окружность с радиусом 3 и центром в начале координат. Это и есть множество решений данного неравенства.