Question

Решите систему уравнений ( методом ввода новых переменных)

Answer 1

$\left\{\begin{array}{l}xy-\dfrac{x}{y}=\dfrac{16}{3}\\xy-\dfrac{y}{x}=\dfrac{9}{2} \end{array}\right\ \ \ \ zamena:\left\{\begin{array}{l}p=xy\\t=\dfrac{x}{y}\\x\ne 0\ ,\ y\ne 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\ p-t=\dfrac{16}{3}\\p-\dfrac{1}{t}=\dfrac{9}{2}\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}\ p=\dfrac{16}{3}+t\\p=\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{t}\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{16}{3}+t=\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{t}\ \Big|\cdot 6t\ \ ,\ \ (t\ne 0)16\cdot 2t+t\cdot 6t=9\cdot 3t+6 \ \ ,\ \ \ 6t^2+32t-27t-6=0\ \ ,\ \ 6t^2+5t-6=0\ ,D=5^2+4\cdot 36=169\ \ ,t_1=\dfrac{-5-13}{12}=-\dfrac{3}{2}\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{-5+13}{12}=\dfrac{2}{3}$

$a)\ \ t=\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{2}\ \ \to \ \ \ x=-\dfrac{3y}{2}\ \ ,\ \ p=xy=-\dfrac{3y^2}{2}\ \ ,p=\dfrac{16}{3}+t\ \ ,\ \ \ p=\dfrac{16}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{6}\ \ ,\ \ \ -\dfrac{3y^2}{2}=\dfrac{23}{6}\ \ ,\ \ y^2=-\dfrac{23}{9}$

Уравнение не имеет решений, так как квадрат любого выражения не может быть отрицательным .

$b)\ \ t=\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\ \ \to \ \ x=\dfrac{2y}{3}\ \ ,\ \ p=xy=\dfrac{2y^2}{3}\ \ ,p=\dfrac{16}{3}+t=\dfrac{16}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{18}{3}=6\ \ ,\ \ \ \dfrac{2y^2}{3}=6\ \ ,\ \ y^2=9\ \ \to \ \ y=\pm 3x=\pm \dfrac{2\cdot 3}{3}=\pm 2Otvet:\ \Big(-2\ ;\, -3\, \Big)\ ,\ \ \Big(\, 2\ ;\ 3\, \Big)\ .$