Question

Вычислите синус , косинус , тенгенс и котангенс угла: $1) - 75 {}^{ {}^{0} } \\ 2) - \frac{\pi}{12} \\ 3) - \frac{7\pi}{12}$

Answer 1

Пользуемся формулами синус и косинус суммы углов, чётностью cos   и нечётностью sin , tg , ctg, а также формулами приведения .

$1)\ \ sin75^\circ =sin(45^\circ +30^\circ )=sin45^\circ \cdot cos30^\circ +cos45^\circ \cdot sin30^\circ ==\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}cos75^\circ =cos(45^\circ +30^\circ )=cos45^\circ \cdot cos30^\circ -sin45^\circ \cdot sin30^\circ ==\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$tg75^\circ =\dfrac{sin75^\circ }{cos75^\circ }=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}=\dfrac{(\sqrt6+\sqrt2)^2}{(\sqrt6-\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)}=\dfrac{8+2\sqrt{12}}{4}=2+\sqrt3ctg75^\circ=\dfrac{cos75^\circ }{sin75^\circ }=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}=\dfrac{8-2\sqrt{12}}{4}=2-\sqrt3$

$sin(-75^\circ )=-sin75^\circ =-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\ \ ,\ \ cos(-75^\circ )=cos75^\circ =\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\ ,tg(-75^\circ )=-tg75^\circ =-2-\sqrt3\ \ ,\ \ ctg(-75^\circ )=-ctg75^\circ =\sqrt3-2$

$2)\ \ sin\dfrac{\pi}{12}=sin15^\circ =sin(90^\circ -75^\circ )=cos75^\circ =\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\ ,cos15^\circ=sin75^\circ =\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\ ,\ \ tg15^\circ =ctg75^\circ =2-\sqrt3\ ,ctg15^\circ =tg75^\circ =2+\sqrt3$

$sin(-\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\ ,\ \ cos(-\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\ ,\ \ tg(-\dfrac{\pi}{12}\Big)=\sqrt3-2\ ,ctg(-\dfrac{\pi}{12})=-2-\sqrt3$

$3)\ \ sin\dfrac{7\pi}{12}=sin105^\circ =sin(90^\circ +15^\circ )=cos15^\circ =\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}cos105^\circ =cos(90^\circ +15^\circ )=-sin15^\circ=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$

$tg105^\circ =tg(90^\circ +15^\circ )=-ctg15^\circ =-2-\sqrt3ctg105^\circ =ctg(90^\circ +15^\circ )=-tg15^\circ =\sqrt3-2$

$sin(-\dfrac{7\pi }{12})=-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\ ,\ \ cos(-\dfrac{7\pi }{12})=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\ ,tg(-\dfrac{7\pi }{12})= 2+\sqrt3\ ,\ \ ctg(-\dfrac{7\pi }{12})=2-\sqrt3$