1) y = -x^2+2*x-3 Решение Находим первую производную функции: y' = -2x+2 Приравниваем ее к нулю: -2x+2 = 0 x1 = 1 Вычисляем значения функции f(1) = -2 Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: y'' = -2 Вычисляем: y''(1) = -2<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.
2) y = x^3-x^2-5*x-3 Решение Находим первую производную функции: y' = 3x2-2x-5 Приравниваем ее к нулю: 3x2-2x-5 = 0 x1 = -1 x2 = 5/3 Вычисляем значения функции f(-1) = 0 f(5/3) = -256/27 ответ: fmin = -256/27, fmax = 0 Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: y'' = 6x-2 Вычисляем: y''(-1) = -8<0 - значит точка x = -1 точка максимума функции. y''(5/3) = 8>0 - значит точка x = 5/3 точка минимума функции.
Y = 5*x-sin(2*x) 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная равна:. f'(x) = -2cos(2x)+5 Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю -2cos(2x)+5 = 0 Для данного уравнения корней нет. 2. Находим интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная равна: f''(x) = 4sin(2x) Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. 4sin(2x) = 0 Откуда точки перегиба: x1 = 0 На интервале (-∞ ;0) f''(x) < 0, функция выпукла На интервале (0; +∞) f''(x) > 0, функция вогнута
Пусть sinx = t, причём t ∈ [ -1; 1]
t^2 + 6t - 6 = 0
D = 36 + 24 = 60
√D = 2√15
t 1 = ( - 6 + 2√15)/2 = - 3 + √15 ≈ 0,87
t2 = - 3 - √15 ==> ∉ [ -1; 1]
sinx = √15 - 3
x = (-1)^k arcsin(√15-3) + pik, k ∈Z
2) cos^2x + 8sinx = 3
1 - sin^2x + 8sinx - 3 = 0
sin^2x - 8sinx + 2 = 0
Пусть sinx = t, причём t ∈ [ -1; 1]
t^2 - 8t + 2 = 0
D = 64 - 8 = 56
t= 4 - √14
sinx = 4 - √14
x = (-1)^k arcsin(4-√14) + pik, k ∈Z