Question

Задание 1 Решите задачи, составив уравнения. а) Разница между двумя числами равна 34, а разница между квадратами равна 408. Найдите эти два числа.
б) сторона одного квадрата на 1 см больше стороны другого квадрата, а его площадь равна 31 см². Определить сторону маленького квадрата.

Задание 2
а) Докажите, что сумма двух последовательных натуральных чисел есть разность их квадратов.
б) Докажите, что при делении разности кубов двух соседних натуральных чисел на 6 остаток всегда равен 1.

Answer 1

Объяснение:

Задание 1.

a)

Пусть искомые числа будут равны х и у.       ⇒

$\left \{ {{x-y=34} \atop {x^2-y^2=408}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x-y=34} \atop {(x-y)*(x+y)=408}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x-y=34} \atop {34*(x+y)=408\ |:34}} \right.\ \ \ \ \ \left \{ {{x-y=34} \atop {x+y=12}} \right. .$

Суммируем эти уравнения:

$2x=46\ |:2\\x=23.\ \ \ \ \Rightarrow\\23-y=34\\y=-11.\\$

ответ: 23 и -11.

б)

Пусть сторона маленького квадрата равна х см.          ⇒

Сторона большого квадрата равна (х+1) см.

$(x+1)^2=31\\(x+1)^2-31=0\\(x+1)^2-(\sqrt{31})^2=0\\ (x+1-\sqrt{31})*(x+1+\sqrt{31} )=0\\x+1-\sqrt{31}=0\\ x_1=\sqrt{31}-1\in. \\x_2=-\sqrt{31} -1\notin.\\$

ответ:  сторона маленького квадрата равна (√31-1) см.

Задание 2.

а)

Пусть последовательные натуральные числа равны х и (х+1).    ⇒

$(x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1=x+(x+1).$

б)

Пусть последовательные натуральные числа равны х и (х+1).    ⇒

$(x+1)^3-x^3=x^3+3*x^2*1+3*x*1^2+1^3-x^3=3x^2+3x+1=3*x*(x+1)+1.\\$

Первое слагаемое делится на 6, так как среди двух соседних натуральных чисел одно из них обязательно чётное, другое - нечётное.        ⇒       Остаток всегда равен 1.