Решить уравнение sin2x + cos2x = √2sin3x
ответ: x =π/4 + 2π*k , k ∈ ℤ ;
x = 3π/20 + (2π/5)*n , n ∈ ℤ .
Объяснение:
sin2x+cos2x=√2sin3x ⇔(1/√2)*sin2x+(1/√2)*cos2x=sin3x ⇔
cos(π/4)*sin2x+sin(π/4)*cos2x = sin3x ⇔ sin(2x+π/4) = sin3x ⇔
sin3x - sin(2x+π/4) = 0 ⇔ 2sin( (x - π/4) / 2 ) *cos( (5x +π/4) /2 )= 0 ⇔
a) (x -π/4) / 2 =π*k , k ∈ ℤ ⇒ x =π/4 + 2π*k , k ∈ ℤ ;
b) (5x +π/4) / 2 = π/2+ π*n , n ∈ ℤ ⇒ 5x +π/4 = π+2π*n , n ∈ ℤ ⇔
x = 3π/20 + (2π/5)*n , n ∈ ℤ .
* * * a*sinx +b*cosx = √(a² +b²) sin(x+φ) , где φ=arctg(b/a) * * *
Відповідь:
В первый раз увеличение зарплаты составило 21,83%.
Пояснення:
Допустим, что зарплата до первого повышения была А денежных единиц.
Пусть у% - это увеличение зарплаты в первый раз в процентах. Обозначим х = у%/100% - относительное увиличение зарплаты. Зарплата увеничилась на А×х денежных единиц и стала А + А × х = А × ( 1 + х ) денежных единиц. Значит зарплата стала в ( 1 + х ) раз больше.
Во второй раз увеличение зарплаты в процентах было больше в два раза, чем в первый раз. Теперь зарплата стала в ( 1 + 2х ) раз больше. ВТОРОЕ ПОВЫШЕНИЕ РАСЧИТЫВАЕТСЯ ИСХОДЯ ИЗ ЗАРПЛАТЫ, ПОЛУЧЕННОЙ ПОСЛЕ ПЕРВОГО ПОВЫШЕНИЯ. ТАК, КАК ПОВЫШАЮТ ЗАРПЛАТУ ИСХОДЯ ИЗ ИМЕЮЩЕЙСЯ НА ДАННЫЙ МОМЕНТ СУММЫ, А НЕ ТОЙ, КОТОРАЯ БЫЛА ПРИ ЦАРЕ ГОРОХЕ.
Зарплата увеничилась на А × ( 1 + х ) × 2х денежных единиц и стала А × ( 1 + х ) + А × ( 1 + х ) × 2х = А × ( 1 + х ) × ( 1 + 2х )
В результате двух этапов увеличения зарплаты, она составила 7/4 от первоначальной, тоесть 7/4 × А. Имеем уравнение:
А × ( 1 + х ) × ( 1 + 2х ) = 7/4 × А
Сократим А с двух сторон.
( 1 + х ) × ( 1 + 2х ) = 7/4
1 + х + 2х + 2х^2 = 1,75
2х^2 + 3х - 0,75 = 0
Решаем квадратное уравнение.
Дискриминант равен:
D = 9 - 4 × 2 × (-0,75) = 15
Корни уравнения равны:
x1 = ( -3 + sqrt(D) ) / 4 = 0,21825
x2 = ( -3 - sqrt(D) ) / 4 = -1,71825
Второй корень отбрасываем, так как зарплата выросла, а не уменьшилась.
Первое увеличение зарплаты составило 0,21825 × 100% = 21,83%
Проверка:
( 1 + 0,21825 ) × ( 1 + 2 × 0,21825 ) = 7/4
1,21825 × 1,4365 = 7/4
1,75 × 4 = 7
7 = 7
Пусть зарплата до первого повышения была 10 000 денежных единиц.
После первого повышения на 21,83% она стала:
10 000 × ( 1 + 0,218246 ) = 12 182,46 денежных единиц.
После второго повышения на 2 × 21,83% она стала:
12 182,46 × ( 1 + 2 × 0,218246 ) = 12 182,46 × 14 364,92 = 17 500 денежных единиц.
17 500 = 7/4 × 10 000
17 500 × 4 = 7 × 10 000
70 000 = 70 000
