Сума перших трьох чисел, що утворюють зростаючу арифметичну прогресію, дорівнює 2, а сума квадратів цих трьох чисел дорівнює 14/9. Знайти третій член прогресії.
Х яблок у Володи ух яблок у Пети у²х яблок у Коли После раздачи стало: х+4 яблок у Володи ух-2 яблок у Пети у²х-2 яблок у Коли Эти числа и составляют арифметическую прогрессию: 1) если (ух-2) среднее число в арифметической прогрессии х+4+у²х-2=2(ух-2) (сумма наибольшего и наименьшего равна удвоенному среднему) у²х-2ух+х=-6 х(у²-2у+1)=-6, что невозможно 2) если (у²х-2) среднее число в арифметической прогрессии х+4+ух-2=2(у²х-2) 2у²х-ух-х=6 х(2у²-у-1)=6 2у²-у-1=6, но в этом случае нет целых корней 3) если (х+4) – среднее число в арифметической прогрессии ух-2+у²х-2=2(х+4) у²х+ух-2х=12 х(у²+у-2)=12 Т.к. у≥2, то у²+у-2≥4 (и является делителем числа 12) Пусть у=2, тогда х=3, а значит число яблок 3, 6 и 12 Либо у²+у-2=6 или у²+у-2=12, но в этом случае нет целых корней Следовательно у Володи 3 яблока, у Пети – 6 яблок, у Коли – 12 яблок. Всего 3+6+12=21 яблоко ответ: 21
ответ: А) 1
Объяснение:
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + 2d
Складемо систему рівнянь:
{a₁ + a₂ + a₃ = 2
{a₁² + a₂² + a₃² = 14/9
{a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d = 2
{3a₁ + 3d = 2 | :3
{a₁ + d = 2/3
a₂ = 2/3
Підставимо у друге рівняння a₂ = 2/3
{a₁² + (2/3)²+ a₃² = 14/9
{a₁² + 4/9 + a₃² = 14/9
a₁² + a₃² = 14/9 - 4/9
a₁² + a₃² = 10/9
a₁² + (a₁ + 2d)² = 10/9
a₁² + a₁² + 4a₁d + 4d² = 10/9
2a₁² + 4a₁d + 4d² = 10/9 | :2
a₁² + 2a₁d + 2d₁² = 5/9
a₁² + 2a₁d + d² + d² = 5/9
(a₁ + d)² + d² = 5/9
a₂² + d² = 5/9
(2/3)² + d² = 5/9
4/9 + d² = 5/9
d² = 5/9 - 4/9
d² = 1/9
d = ± 1/3
Звідси знайдемо третій член прогресії:
d = 1/3
a₁ = a₂ - d = 2/3 - 1/3 = 1/3
a₃ = a₁ + 2d = 1/3 + 2 * 1/3 = 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1