Question

решить неравенство
а - параметр

Answer 1

Перенесём корень из икс направо и возведём в квадрат обе части.

a + x < a² - 2a√x + x, сократим на х и преобразуем: 2a√x < a² - а.

Сократим на а: 2√x < a – 1.

Отсюда находим, что а > 1 (левая часть не может быть отрицательной), а также, что х > 0.

Возведём в квадрат обе части.

4x < a ²– 2a + 1.

ответ: а > 1,

          x < (1/4)*( a ²– 2a + 1).

Answer 2

a≤1⇒решений нет; a> 1⇒    $x\in\left[0;\dfrac{(a-1)^2}{4}\right).$

Объяснение:

Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому при a≤0 решений нет.

Пусть a>0. Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{x+a}+\sqrt{x}.$ Это возрастающая функция на своей области определения $x\in [0;+\infty).$

Если $a\in(0;1],$  $f(0)=\sqrt{a} \ge a,$ а тогда в силу возрастания f(x)≥a на области определения, поэтому при таких a решений нет.

Пусть a>1. В этом случае $f(0)=\sqrt{a} < a,$ и нам нужно поймать момент, когда f(x) станет равен a. Итак, решаем уравнение $\sqrt{x+a}+\sqrt{x}=a.$

Обозначим $\sqrt{x+a}=p 0; \ \sqrt{x}=q\ge 0.$  Поскольку p²-q²=a, уравнение равносильно системе $\left \{ {{p+q=a} \atop {p^2-q^2=a}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {(p-q)(p+q)=a}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {p-q=1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p=\frac{a+1}{2}} \atop {q=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{\sqrt{x+a}=\frac{a+1}{2}} \atop {\sqrt{x}=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ {{x+a=\frac{(a+1)^2}{4}} \atop {x=\frac{(a-1)^2}{4}}} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{(a-1)^2}{4}.$ Напомним еще раз, что функция f(x) возрастающая, поэтому слева от найденной точки функция меньше a, справа - больше a. Не забываем и про область определения.