Question

Разложи на множители многочлен

Answer 1

$(y-5)(y-8)(y-3)$

Объяснение:

Приравняем многочлен нулю и решим кубическое уравнение:
$y^3-16y^2+79y-120=0$
Один из корней уравнения находится среди делителей свободного члена. Многочлен обращается в 0 при $y_1=5$:
$5^3-16*5^2+79*5-120=125-400+395-120=0$
Разделив многочлен на $y-5$, получим:
$(y-5)(y^2-11y+24)=0$
Далее решим квадратное уравнение (приравняем вторую скобку нулю):
$y^2-11y+24=0$
$D=121-4*24*1=121-96=25=5^2$
$y_2=\frac{11+5}{2}=8$
$y_3=\frac{11-5}{2}=3$
Перепишем левую часть исходного уравнения в виде:
$(y-5)(y-8)(y-3)$

Answer 2

Если у многочлена есть целый корень, то он является делителем свободного члена. Делителем числа  -120 является число 3 . При подстановке у=3 в многочлен, получим

$3^3-16\cdot 3^2+79\cdot 3-120=27-144+237-120=0$  . Значит у=3 - корень многочлена , и он делится нацело на разность (у-3) . Выделим скобку (у-3) в заданном многочлене группировки слагаемых .

$y^3-16y^2+79y-120=(y^3\underbrace{-3y^2)+(-13y^2}_{-16y^2}+\underbrace{39y)+(40y}_{79y}-120)==y^2(y-3)-13y(y-3)+40(y-3)=(y-3)(y^2-13y+40)={}\ \ \ \ \ \star \ \ y^2-13y+40=0\ \ \ \Rightarrow \ \ y_1=5\ ,\ y_2=8\ \ (teorema\ Vieta)\ \ \star =\bf (y-3)(y-5)(y-8)$