Question

2.найдите производную функции: у=2е^3x-5ln(3x+1)
3.Решите уравнение: x^2-(3+2i)x+6i=0

Answer 1

2.

$y=2e^{3x}-5\ln(3x+1)$

$y'=\big(2e^{3x}-5\ln(3x+1)\big)'=(2e^{3x})'-\big(5\ln(3x+1)\big)'=$

$=2\cdot(e^{3x})'-5\cdot\big(\ln(3x+1)\big)'=2\cdot e^{3x}\cdot(3x)'-5\cdot\dfrac{1}{3x+1} \cdot (3x+1)'=$

$=2\cdot e^{3x}\cdot3-5\cdot\dfrac{1}{3x+1} \cdot 3=\boxed{6e^{3x}-\dfrac{15}{3x+1} }$

3.

$x^2-(3+2i)x+6i=0$

По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней - равно свободному члену. То есть:

$\begin{cases} x_1+x_2=3+2i \\ x_1x_2=6i\end{cases}$

Заметим, что числа 3 и 2i удовлетворяют этим условиям. Значит, это и есть корни уравнения.

Решить это уравнение можно было и через дискриминант:

$D=\big(-(3+2i)\big)^2-4\cdot1\cdot6i=3^2+2\cdot3\cdot2i+(2i)^2-24i=$

$=9+12i+4i^2-24i=9-12i+4i^2=(3-2i)^2$

Причем удобно не выделять в явном виде действительную и мнимую часть комплексного числа, а записать его в виде квадрата. Тогда:

$x=\dfrac{3+2i\pm(3-2i)}{2}$

$x_1=\dfrac{3+2i+3-2i}{2}= \dfrac{6}{2} =3$

$x_2=\dfrac{3+2i-3+2i}{2}= \dfrac{4i}{2} =2i$

ответ: 3; 2i