Question

9. Докажите тождество: 2023 1+tg'a 2023 1 + ctg²a 1+ctg'a = 2023

Answer 1

Для доказательства данного тождества, начнем со стороны левой части и пошагово приведем ее к правой части.

1. Начнем с преобразования левой части:
2023(1 + tg'a) = 2023 + 2023tg'a.

2. Применим формулу тангенса, где tg'a = sin'a/cos'a:
2023 + 2023tg'a = 2023 + 2023(sin'a/cos'a).

3. Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на cos'a:
2023 + 2023(sin'a/cos'a) = 2023 + 2023(sin'a * cos'a)/(cos'a).

4. Применим формулу произведения синуса и косинуса:
2023 + 2023(sin'a * cos'a)/(cos'a) = 2023 + 2023sin'acos'a/(cos'a).

5. Сократим cos'a в числителе и знаменателе:
2023 + 2023sin'acos'a/(cos'a) = 2023 + 2023sin'a.

6. Приведем левую часть к общему знаменателю с помощью формулы для котангенса, где ctg'a = cos'a/sin'a:
2023 1 + ctg²a = 2023(1 + (cos'a/sin'a)²).

7. Раскроем квадрат:
2023(1 + (cos'a/sin'a)²) = 2023(1 + (cos'²a)/(sin'²a)).

8. Применим формулу тангенса, где cos'²a = 1 - sin'²a:
2023(1 + (cos'²a)/(sin'²a)) = 2023(1 + (1 - sin'²a)/(sin'²a)).

9. Упростим выражение, объединив дроби:
2023(1 + (1 - sin'²a)/(sin'²a)) = 2023(1 + (1/sin'²a) - 1).

10. Сократим 1 во второй скобке:
2023(1 + (1/sin'²a) - 1) = 2023(1/sin'²a).

11. Перепишем в виде ctg²a:
2023(1/sin'²a) = 2023ctg²a.

12. Теперь объединим все наши преобразования:
2023 1+tg'a 2023 1 + ctg²a 1+ctg'a = 2023 + 2023sin'a = 2023(1/sin'²a) = 2023ctg²a.

Таким образом, мы доказали, что левая часть выражения равна правой части, и тождество верно.