используя формулу приведения для синуса sin(180-a)=sin (a)
и формулу синуса двойного угла 2 sin (a) cos (a)=sin (2*a)
и табличное значение синуса 30 градусов sin 30=1/2
получим:
1) 4cos75*sin105=4cos75*sin(180-105)=2*2*cos75*sin75=2*sin (75*2)=
2*sin 150=2*sin(180-30)=2*sin 30=2*1/2=1
замечание 1:в задании задано произведение, как оно может восприниматься как сумма в том виде, что написано понять низзя
замечание 2: можно конечно найти по формулам PS отдельно cos75, sin105, но такой вариант решения задачи кажется более простым и доступным
ctg (a) - ctg (2a)=
использовав формулу для котангенса двойного угла, получим
=ctg (a) - (ctg^ 2 (a) -1)/(2 *ctg (a))=
сведя к общему знаметелю=
=(ctg^2 (a) - (ctg^ 2 (a) -1)) / (2* ctg (a))=
раскрывая скобки
=(2*ctg^2 (a) - ctg^ 2 (a) +1)) /(2 * ctg (a))=
упрощая подобные
раскрывая скобки
=(ctg^ 2 (a) +1)) /(2 * ctg (a))=
=домножая на sin^2 (a) числитель и знаменатель, и использовав одно из основных тригонометрчиеских соотношений, получим
=(cos^ 2 (a) +sin^2 (a))) /(2 *cos (a)*sin a)=
использовав основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим=
= 1/(sin 2a),
а значит данное равенство является тождеством (левую часть путем преобрзования выражений привели в вид выражения в правой части).
Доказано
