Question

F(x)=(x²-1)/(x²+1) найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума. ​

Answer 1

$f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$

Определим производную функции по формуле: $f'\bigg(\dfrac{v}{u} \bigg) = \dfrac{v'u - u'v}{u^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{(x^{2} - 1)'(x^{2}+1) - (x^{2}+1)'(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} =\\\\= \dfrac{2x(x^{2}+1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{2x(x^{2}+1 - x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$

Определим критические точки, приравняв к нулю значение производной:

$\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}} = 0$

$D(f'(x)): (x^{2}+1)^{2}\neq 0; \ x \in \mathbb{R}$

$4x = 0; \ x = 0$

Определим промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (выбираем из каждого промежутка какое-нибудь число и подставляем его в производную, и проверяем её знак):

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \text{min} \ \ \ \ \ \ + \\------- \circ------ x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \nearrow$

Итак,

1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$

2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$

3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$

Для нахождения $y_{\text{min}}$ мы подставляем значение $x_{\text{min}}$ в значение функции.

1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$

2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$

3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$