Question

Найдите наименьшее значение функции а) y=3sinx - 10x + 3 и наибольшее значение ф-ции б) y=10cosx + 12x - 5 на промежутке [-3п (пи)/2; 0]

Answer 1

Объяснение:

$a) ~ y = 3\sin x - 10x + 3~~x\in[-\frac{3\pi}{2};0]$

Найдём стационарные точки. Для этого вычислим производную функции y и приравняем её к 0.

$y' = (3\sin x -10x+3)' = 3\cos x -10; \qquad y' = 0\\ \\3 \cos x - 10 = 0\\ \\ 3 \cos x = 10$

$\cos x = \frac{10}{3}$ ∉ [-1; 1] ⇒ стационарных точек нет

Подставим границы промежутка

$y(-\frac{3\pi}{2}) = 3 \sin (-\frac{3\pi}{2}) - 10\cdot (-\frac{3\pi}{2}) + 3=-3 \sin \frac{3\pi}{2} + 15\pi + 3 = 15\pi+6\\ \\ y(0) = 3\sin 0 - 10 \cdot 0 + 3 = 3$

Наименьшее значение функции на промежутке [-3π/2; 0] равно 3

$b) ~~y = 10\cos x+12x- 5\quad x\in[-\frac{3\pi}{2},0]\\ \\ y' = (10\cos x + 12x- 5)' = -10 \sin x + 12; \qquad y' = 0\\ \\ -10\sin x+12 = 0$

$\sin x = \frac{12}{10}$ ∉ [-1; 1] ⇒ стационарных точек нет

$y(-\frac{3\pi}{2}) = 10\cdot \cos (-\frac{3\pi}{2})+12(-\frac{3\pi}{2}) -5 = -18\pi - 5\\ \\ y(0) =10\cos 0+12\cdot 0 - 5 = 10-5 = 5$

Наибольшее значение функции на промежутке [-3π/2; 0] равно 5