Question

Решить lim х стремяшиеся к бесконечности (1+1/3х)^х

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^x=\{\frac{1}{3x}=\frac{1}{a}, a=3x, x=\frac{1}{3}a, x \to \infty, a \to \infty \} = \\ \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{a})^{\frac{1}{3}a}=\lim_{x \to \infty} ((1+\frac{1}{a})^a)^{\frac{1}{3}}= \\ (\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{a})^a)^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}$

Answer 2

Это второй замечательный предел:

Нужно только сделать некоторые преобразования:

Сделаем замену t=3x

Поскольку $x-\infty$ то и $3x -\infty$

Перепишем наш предел с учетом этой замены:

$\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{\frac{t}{3}}= \\ =\lim_{t \to \infty} ((1+\frac{1}{t})^{t})^{\frac{1}{3}}$ 

Поскольку известно что:

$\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{t}=e$ 

то

 $\lim_{t \to \infty} ((1+\frac{1}{t})^{t})^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{e}$

 ответ: $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^x=\sqrt[3]{e}$