Question

Докажите что функция f(x)=x^2-10x возрастает на промежутке [5; +бесконечности) (без подстановки! )

Answer 1

$f(x)=x^2-10x=x^2-10x+25-25=(x-5)^2-25$

Пусть $x_1\in [5;+\infty),\ x_2\in [5;+\infty),\ x_1x_2$.

$x_1x_2\\x_1-5x_2-5$

Оба числа неотрицательны, поэтому при возведении в квадрат знак не меняется:

$(x_1-5)^2(x_2-5)^2\\(x_1-5)^2-25(x_2-5)^2-25\\f(x_1)f(x_2)$

На заданном промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, значит, функция возрастает, что и требовалось доказать.