Question

Исследуйте функцию y=4lnx-x^2/2 на монотонность и экстремумы

Answer 1

$D(f): x0==x\in(0;+\infty)$
$y=4\ln x- \frac{x^2}{2};\\ y'= \frac{4}{x}-x\\ y'=0; \frac{4-x^2}{x}=0; \\ x=2\in(0;+\infty) \\ x=-2\notin(0;+\infty);\\ x\neq0;\\ :\\ 0 y'0;\\ 2y'<0;\\ y_{max}=y(2)=4\ln2- \frac{2^2}{2}=\ln8-2;\\$<+\infty==><2==>
при $x\in(0;2]$ функция растёт
при $x\in[2;+\infty)$ функция убывает
в х=2 максимум функции, причем у(2)=ln8-2<+\infty><2===><0><-2>