Решение: Рассмотрим функцию f(x)=sin x-x*cos(x) на промежутке [0; pi\2]. Она непрерывна на этом промежутке и для каждого х из этого промежутка существует проиводная. Ищем проиводную: f’(x)=cos x-cos x+x*sin x=x*sin x f’(x)>0 на промежутке (0; pi\2),значит f(x) возрастает на (0; pi\2), f(0)=sin 0+0*cos 0=0 f(0)=0 Значит при х є (0; pi\2) f(x)>f(0)=0 или sin x-x*cos(x)>0, то есть sinx>xcosx, что и требовалось доказать.
Можно было раскрыть модули по определению, но поступим несколько иначе. Найдём интервалы, где выражения под моудем меняют свои знаки.
На основе этого выделяем три интервала:
1) (∞; -1] В левой части под модулем выражение больше нуля, раскрываем модуль по определению: x² + x. В правой части под модулем отрицательное выражение, раскрываем модуль и получаем: (-3х - 3). Решаем Подходят оба корня.
2) [-1; 0] В левой части под модулем выражение меньше нуля, значит, (-x² - x). В правой части выражение под модулем больше нуля, значит, (3x + 3). Решаем Здесь мы можем взять только один корень x = -1, который у нас уже есть.
3) [0; +∞] Оба выражения под модулем больше нуля, значит: Подходит один корень x = 3.
