Question

Докажите, что один из корней каждого уравнения ах^2-(а+с)х+с=0 и ах^2+bх-(a-b)=0 равен 1

Answer 1

$ax^2-(a+c)x+c=0;\\ D=(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2;\\ x_1=\frac{-(-(a+c))-(a-c)}{2a}=\frac{a+c-a+c}{2a}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a};\\ x_2=\frac{-(-(a+c))+(a-c)}{2a}=\frac{a+c+a-c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1;\\ (x-1)(x-\frac{c}{a})=x^2-\frac{c}{a}x-x+\frac{c}{a}=\frac{1}{a}(ax^2-ax-cx+c)=\\ =\frac{1}{a}(ax^2-(a+c)x+a)$
x=1 корень даного уравнения

$ax^2+bx-(a-b)=0;\\ D=b^2+4a(a-b)=b^2+4a^2-4ab=(2a-b)^2;\\ x_1=\frac{-b-(2a-b)}{2a}=\frac{-b-2a+b}{2a}=\frac{-2a}{2a}=-1;\\ x_2=\frac{-b+(2a-b)}{2a}=\frac{2a-2b}{2a}=1-\frac{b}{a}=\frac{a-b}{a};\\$
во втором уравнении один из корней равен -1, если там ошибка в задании, если вместо b поставить -b, тогда х=1 будет корнем