Question

Найдите сумму бесконечной прогрессии, проверив предварительно, что ее знаменатель q удовлетворяет условию |q|< 1 а)36; 12; г)√2; 1; 1/√2 !

Answer 1

А)
$36; 12; 4;....\\ b_1=36;\\ b_2=12; b_3=4;\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{36}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{4}{12}=\frac13;\\ |q|=|\frac13|<1;\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac13}=\frac{36}{\frac23}=18\cdot3=54.$

г)
$\sqrt2; 1; \frac{1}{\sqrt2};....\\ b_1=\sqrt2;\\ b_2=1;\\ b_3=\frac{1}{\sqrt2};\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{1}=\frac{1}{\sqrt2};\\ |q|=|\frac{1}{\sqrt2}|<1;\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt2}{1-\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2}{\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{2}{\sqrt2-1}=\frac{2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2)^2-1^2}=\\ =\frac{2\sqrt2+2}{2-1}=\frac{2\sqrt2+2}{1}=2\sqrt2+2.$