Шаг 1: Приведение подобных
Уравнение содержит несколько разных тригонометрических функций. Наша первая задача - привести их к одной и той же функции.
Мы знаем следующие формулы:
- cos^2(x) + sin^2(x) = 1
- 2sin(x)cos(x) = sin(2x)
Давайте воспользуемся этими формулами для приведения подобных:
3sin^2(x) - sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0
3sin^2(x) - sin(x)cos(x) - 2(1 - sin^2(x)) = 0
Теперь мы получили уравнение, содержащее только sin(x) и cos(x).
Шаг 2: Замена переменных
Давайте введем новую переменную y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:
3y^2 - y√(1-y^2) - 2(1-y^2) = 0
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение с переменной y. Давайте решим его, используя квадратную формулу:
y = (-(-√(1-y^2)) ± √((-√(1-y^2))^2 - 4(3)(-2(1-y^2)))) / (2(3))
y = (√(1-y^2) ± √((1-y^2) + 24(1-y^2))) / 6
y = (√(1-y^2) ± √(25(1-y^2))) / 6
y = (√(1-y^2) ± 5√(1-y^2)) / 6
y = (6√(1-y^2)) / 6 или y = (-4√(1-y^2)) / 6
y = √(1-y^2) или y = (-2/3)√(1-y^2)
Шаг 4: Решение уравнений
Рассмотрим оба уравнения отдельно.
a) √(1-y^2) = y
Возведем обе части уравнения в квадрат:
1-y^2 = y^2
2y^2 = 1
y^2 = 1/2
y = ±√(1/2)
Заменяя y на sin(x), получим два возможных значения:
sin(x) = √(1/2) или sin(x) = -√(1/2)
Найдем соответствующие значения углов от 0 до 2π:
x1 = π/4 или x2 = 3π/4
x3 = 5π/4 или x4 = 7π/4
Итак, первое уравнение имеет 4 решения: x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
b) (-2/3)√(1-y^2) = y
Возведем обе части уравнения в квадрат:
а) Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, нужно выполнить следующие шаги:
1. По определению, точка пересечения с осью OX имеет координаты (x, 0), а точка пересечения с осью OY имеет координаты (0, y).
2. Чтобы найти координаты точки пересечения с осью OX, нужно приравнять функцию у(x) к 0 и решить полученное уравнение.
-0.5x^2 + 3x + 8 = 0
3. Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,
где a = -0.5, b = 3, c = 8.
Подставим значения в формулу:
D = 3^2 - 4*(-0.5)*8 = 9 + 16 = 25.
4. Так как дискриминант положителен (D > 0), то у уравнения есть два корня.
Найдем эти корни с помощью формулы:
x = (-b ± sqrt(D)) / (2a).
Подставляем значения и рассчитываем корни:
x1 = (-3 + sqrt(25)) / (-1) = (-3 + 5) / (-1) = 2
x2 = (-3 - sqrt(25)) / (-1) = (-3 - 5) / (-1) = 8
Получили две точки пересечения с осью OX: (2, 0) и (8, 0).
5. Чтобы найти координаты точки пересечения с осью OY, можно подставить x = 0 в уравнение функции у(x) и рассчитать значение y:
y = -0.5*0^2 + 3*0 + 8 = 0 + 0 + 8 = 8.
Получили точку пересечения с осью OY: (0, 8).
б) Ось симметрии функции – это вертикальная прямая, которая делит график функции на две симметричные части.
1. Ось симметрии функции является вертикальной прямой и проходит через вершину параболы.
2. Чтобы найти ось симметрии, нужно использовать формулу x = -b / (2a), где a=-0.5 и b=3.
Подставим значения и рассчитаем:
x = -3 / (2*(-0.5)) = -3 / (-1) = 3.
Получили, что ось симметрии функции проходит через x = 3.
в) Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно знать, находится ли функция ветвями параболы вниз или вверх.
1. Функция у = -0.5x^2 + 3x + 8 имеет отрицательный коэффициент перед членом x^2 (-0.5), поэтому парабола обращена вниз.
2. Наименьшее значение функции будет равно y-координате вершины параболы.
3. Чтобы найти y-координату вершины, нужно использовать формулу y = f(x) = -0.5*(x-3)^2 + 8, где x = 3.
Подставляем значение и рассчитываем:
y = -0.5*(3-3)^2 + 8 = -0.5*0^2 + 8 = 8.
Получили, что наименьшее значение функции равно 8.
г) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно учесть, что парабола будет возрастать до оси симметрии и убывать после нее (так как у нас парабола обращена вниз).
1. Ось симметрии функции находится в точке x = 3.
2. То есть, функция будет возрастать на интервале (-∞, 3) и убывать на интервале (3, +∞).
Это ответы на все вопросы. Надеюсь, что они понятны для школьника!
