Question

Пусть s(n) обозначает сумму всех цифр натурального числа n. найти все решения уравнения n+s(n)=2010

Answer 1

 $n+S(n)=2010\\ n+S(n)=2*3*5*67\\$
 Заметим что если  справа число делиться на 3 , то и слева тоже .   Воспользуемся известным свойством , делимости на 3 , число делиться на 3 , тогда и только  тогда когда сумма его цифр делиться на 3.    
 Положим пусть $n=19xy$  , где $x;y$  натуральные числа , тогда 
  $19xy+S(19xy)=2010\\$
  откуда $10+x+y$ должно делиться на 3 . 
 $10+x+y=3N$ 
 очевидно что какие не были  $x,y$ , число все равно будет двузначным , исходя из оценки этих чисел . 
 Пусть $10+x+y=10a+b\\ 10+x+y+a+b=3k\\ 3k-(a+b)=10a+b\\ 11a+2b=3k\\ a=2\\ b=4\\ N=24\\$ 
 откуда число равно $x=8\\ y=6\\ n=1986$
   Далее можно проверить по остаткам , и убедится что это единственное решение