Question

Найдите целые отрицательные решения неравенств: 1) x^4-4x^2 меньше 0 2) 27-3x^2 больше либо равно 0 3) x^2-x-2/x2 меньше 0 4) x^2+x/x^2-3

Answer 1

Найдите целые отрицательные  решения неравенств:
$1)$ $x^4-4x^2\ \textless \ 0$
Рассмотрим функцию $f(x)=x^4-4x^2$
Её область определения: $D(f)=(-\infty;+\infty)$

Приравниваем функцию к нулю:
$f(x)=0;\,\,\,\,\, x^4-4x^2=0\\ x^2(x^2-4)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$\left[\begin{array}{ccc}x^2=0\\x^2-4=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=0\\ x_2_,_3=\pm 2\end{array}\right$

На интервале найдем решение неравенства

_+___(-2)___-___(0)___-___(2)___+___
Решением неравенства есть промежуток - $x \in (-2;0)\cup(0;2)$

Целое отрицательное число из промежутка: -1

ответ: -1.

$2)$ $27-3x^2 \geq 0|\cdot(-1)$
При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный

$-27+3x^2 \leq 0\\ 3x^2 \leq 27|:3\\ x^2 \leq 9\\ \\ |x| \leq 3\\ \\ -3 \leq x \leq 3$

Целые отрицательные числа промежутка: -3; -2; -1.

ответ: -3; -2; -1.

$3)$ $\dfrac{x^2-x-2}{x^2} \ \textless \ 0$
Рассмотрим функцию
  $f(x)= \dfrac{x^2-x-2}{x^2}$
Область определения:
 $x\ne 0$
$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$
Приравниваем функцию к нулю:
$f(x)=0;\,\,\,\, \dfrac{x^2-x-2}{x^2} =0$
Дробь обращается в 0 тогда, когда числитель равен нулю
$x^2-x-2=0$
По т. Виета: $x_1=-1;\,\,\,\,\, x_2=2$

Найдем решение неравенства
  ___+___(-1)___-____(0)____-__(2)____+____
$x \in (-1;0)\cup(0;2)$ - решение неравенства

Целых  отрицательных чисел - НЕТ

ответ: целых отрицательных чисел нет

$4)$ $\dfrac{x^2+x}{x^2-3} \leq 0$
Рассмотрим функцию
   $f(x)= \dfrac{x^2+x}{x^2-3}$
Область определения функции:
  $x^2-3\ne 0\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, x\ne\pm \sqrt{3}$

$D(f)=(-\infty;- \sqrt{3} )\cup(- \sqrt{3} ; \sqrt{3} )\cup( \sqrt{3} ;+\infty)$

Приравниваем функцию к нулю
  $\dfrac{x^2+x}{x^2-3} =0$
Дробь обращается в нуль, если числитель равен нулю
$x^2+x=0\\ x(x+1)=0\\ \left[\begin{array}{ccc}x=0\\ x+1=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=0\\ x_2=-1\end{array}\right$

Вычислим решение неравенства:
  __+___(-√3)__-__[-1]__+___[0]___-__(√3)__+____
Решение неравенства: $x \in (- \sqrt{3} ;-1]\cup[0;\sqrt{3} )$

Целые отрицательные решения : -1

ответ: -1.