Question

1) найдите первообразную f для функции f(x)=4-x^2, график которой проходит через точку м(-3; 10). 2) найдите функцию f(x), для которой f(x)=cos3x-cosπ первообразной. 3) найдите общий вид первообразной для f(x)=(3/x^2) -7cos5x. 4) найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, x+y=6, y=0. 5) найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2sinx, y=sinx, 0≤x≤п.

Answer 1

1) F(x) = 4x - x^3/3 + C
F(-3) = 4(-3) - (-3)^3/3 + C = -12 + 27/3 + C = -3 + C = 10
C = 13
F(x) = 4x - x^3/3 + 13

2) f(x) = F'(x) = (cos 3x - cos pi)' = -3sin 3x

3) F(x) = -3/x - 7/5*sin 5x + C

4) Найдем, где они пересекаются - это пределы интегрирования
y = x^2
y = 6 - x
x^2 = 6 - x
x^2 + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
Int(-3; 2) (6 - x - x^2) dx = 6x - x^2/2 - x^3/3 | (-3; 2) =
= 6*2 - 2^2/2 - 2^3/3 - (6(-3) - (-3)^2/2 - (-3)^3/3) =
= 12 - 2 - 8/3 + 18 + 9/2 - 9 = 10 + 9 - 8/3 + 9/2 = 19 + 11/6 = 20 5/6

5) Найдем, где они пересекаются - это пределы интегрирования
2sin x = sin x
sin x = 0
x1 = 0; x2 = pi
Int(0; pi) (2sin x - sin x) dx = Int(0; pi) sin x dx = cos x |(0; pi) =
= |cos pi - cos 0| = |-1 - 1| = |-2| = 2