Question

С! тема была - решение простейших систем содержащих уравнения второй степени ! - решить систему уравнений! 1 ) xy=7 x+y=8 2) x+y=12 xy=11 3) x+y=-7 xy=10 4) x+y=3 x^2-y^2=15 5) x^2-y^2=24 x+y=4 6) x^2-y^2=8 7) xy=10 x^2+y^2 = 29 8) xy=3 x^2+y^2=10 9) xy=5 x^2+y^2=26

Answer 1

1)
ху=7
х+у=8   х=8-у

(8-у)у=7
8у-у²-7=0
у²-8у+7=0
у1=7  х=1
у2=1 по теореме Виетта  х=7
ответ:1;7  и 7;1
2)х+у=12 ⇒у=12-х
ху=11
х(12-х)=11
х²-12х+11=0
х1=11 у1=1
х2=1  у2=11
3)х+у=-7  х=-7-у
ху=10  (-7-у)у-10=0
-у²-7у-10=0
у²+7у+10=0
у1=-5  х1=-2
у2=-2   у2=-5
4)
х+у=3
х²-у²=15
(х-у)(х+у)=15
3(х-у)=15
х-у=5 сложим с первым  х+у=3
2х=8  х=4  у=-1
5)х²-у²=24  (х-у)(х+у)=24  *
х+у=4 **  подставим в *
4(х-у)=24
х-у=6  сложим с **
2х=10  х=5   у=-1
7)
х²+у²=29  х²+2ху+у²-2ху=29  (х+у)²-2ху=29  (х+у)²-20=29  (х+у)²=49  х+у=7 ⇒у=7-х подставим в *
ху=10 *     2ху=20

х(7-х)=10
х²-7х+10=0
х1=5  у1=2
х2=2   у2=5
8)
х²+у²=10 
ху=3  х²у²=9  у²=9/х²
х²+9/х²=10  замена  х²=а
а+9/а=10
а²-10а+9=0
а1=9  х²=9       х=3   у=1  и   х=-3  у=-1
а2=1   х²=1      х=1   у=3  и   х=-1   у=-3

9)х²+у²=26
ху=5  х²у²=25  у²=25/х²
х²+25/х²=26  замена  х²=а
а+25/а=26
а²-26а+25=0
а1=25  х²=25  х=5  у=1  и  х=-5   у=-1
а2=1    х²=1    х=-1  у=-5 и х=1   у=5

Answer 2

$1) \left \{ {{xy=7} \atop {x+y=8}} \right. x=8-y y=(y*(8-y)=7) y=7 8-y=7 -y=-1 y=1 2) \left \{ {{x+y=12} \atop {xy=11}} \right. x=12-y y=(y*(12-y)=11) y=11 12-y=11 -y=-1 y=1 3) \left \{ {{x+y=-7} \atop {xy=10}} \right. x=-7-y y=(y*(-7-y)=10) y=10 -7-y=10 -y=17 y=-17$$4) \left \{ {{x+y=3} \atop {x^{2}-y^{2}=15}} \right. x=3-y y=((3-y)^{2}-y^{2}=15) 9-6y+y^{2}-y^{2}=15 -6y=6 y=-1$$5) \left \{ {{x^{2}-y^{2}=24} \atop {x+y=4}} \right. x=4-y y=((4-y)^{2}-y^{2}=24) 16-8y+y^{2}-y^{2}=24 -8y=8 y=-1$$6) \left \{ {{x^{2}-y^{2}=8} \atop {x-y=2}} \right. x=y+2 y=((y+2)^{2}-y^{2}=8) y^{2}+4y+4-y^{2}=8 4y=4 y=1$$7) \left \{ {{xy=10} \atop {x^{2}+y^{2}=29}} \right. x=10/y y=((10/y)^{2}+y^{2}=29) 100/y^{2}+y^{2}=29/*y^{2} 100+y^{4}-29y^{2}=0 y^{2}=t t^{2}-29t+100=0 D=(-29)^{2}-4*100=841-400=441 t_{1}=(29+21)/2=25 t_{2}=(29-21)/2=4 y^{2}=25 y=+-5 y^{2}=4 y=+-2$$8) \left \{ {{xy=3} \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right. x=3/y y=((3/y)^{2}+y^{2}=10) 9/y^{2}+y^{2}=10/*y^{2} 9+y^{4}-10y^{2}=0 y^{2}=t t^{2}-10t+9=0 D=(-10)^{2}-4*9=100-36=64 t_{1}=10+8/2=9 t_{2}=10-8/2=1 y^{2}=9 y=+-3 y^{2}=1 y=+-1$$9) \left \{ {{xy=5} \atop {x^{2}+y^{2}=26}} \right. x=5/y y=((5/y)^{2}+y^{2}=26 25/y^{2}+y^{2}=26/*y^{2} 25+y^{4}-26y^{2}=0 y^{2}=t t^{2}-26t+25=0 D=(-26)^{2}-4*25=676-100=576 t_{1}=26+24/2=25 t_{2}=26-24/2=1 y^{2}=25 y=+-5 y^{2}=1 y=+-1$