Question

Определите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; -2) к параболе f(x) = x2

Answer 1

Абсциссы точек касания  $x_1,x_2$  .    
Угловые коэфф. касательных   $k_1=y'(x_1),\; k_2=y'(x_2)$

Уравнение касательной:  $y=y(x_1)+y'(x_1)(x-x_1)$

$y=x^2,\; \; y(x_1)=x_1^2\\\\y'=2x,y'(x_1)=2x_1\\\\Yravn.kasat.\; \; y=x_1^2+2x_1(x-x_1)$

Теперь подставим координаты точки, через которую проходит касательная, (0,-2) , в уравнение касательной вместо переменных:

$-2=x_1^2+2x_1(0-x_1)\\\\-2=x_1^2-2x_1^2,\; \; x_1^2=2,\; x_1=\sqrt2,\\\\x_2=-\sqrt2$

В принципе мы имеем обе точки касания:  $A(\sqrt2,2),\; B(-\sqrt2,2)$

Подставим значения абсцисс в уравнение касательной.

$a)\; \; y=2+2\sqrt2(x-\sqrt2)\; \to \; y=2+2\sqrt2x-4,\\\\y=2\sqrt2x-2\; \to k_1=2\sqrt2\\\\b)\; \; y=2-2\sqrt2(x+\sqrt2),\to \; y=-2\sqrt2x-2\; \to k_2=-2\sqrt2$

Угол между прямыми можно найти по формуле 

$tg \alpha =|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|\\\\tg \alpha =|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2(-2\sqrt2)}|=|\frac{4\sqrt2}{1-8}|=\frac{4\sqrt2}{7}\\\\ \alpha =arctg\frac{4\sqrt2}{7}$