Question

Стригонометрией) 1. решите уравнения: 1) корень из 2 cos x -1 =0 2) 3 tg 2 x + корень из 3 = 0 2. найдите решение уравнение sin x/3 = - 1/2 на отрезке [0; 3п] 3. решите уравнения 1) 3 cos x - cos^2 x = 0 ; 2) 6 sin^2 x - sin x = 1 заранее

Answer 1

1. 1) √2cosx - 1 = 0,

√2cosx = 1,

cosx = 1/√2,

cosx = √2/2,

x = +-π/4 + 2πn, n ∈ Z.

ответ: +-π/4 + 2πn, n ∈ Z.

2) 3tg2x + √3 = 0,

3tg2x = - √3,

tg2x = -√3/3,

2x = -π/6 + πn, n ∈ Z,

x = -π/12 + πn/2, n ∈ Z.

ответ: -π/12 + πn/2, n ∈ Z.

2. sinx/3 = -1/2 на [0; 3π]

x/3 = -π/6 · (-1)ⁿ + πn, n ∈ Z,

x = π/2 · (-1)ⁿ⁺¹ + 3πn, n ∈ Z.

Найдем корни из [0; 3π]:

при n = 0 x = π/2 · (-1) = -π/2 ∉ [0; 3π],

при n = 1 x = π/2 · (-1)² + 3π = π/2 + 3π ∉ [0; 3π],

при n = -1 x = π/2 · (-1)⁰ - 3π = -5π/2 ∉ [0; 3π],

нет решений на [0; 3π].

ответ: нет решений на [0; 3π].

3. 1) 3cosx - cos²x = 0,

cosx(3 - cosx) = 0,

cosx = 0 (1) или 3 - cosx = 0 (2),

(1): x = π/2 + πn, n ∈ Z;

(2): 3 - cosx = 0,

cosx = 3 - нет решений.

Овет: π/2 + πn, n ∈ Z.

2) 6sin²x - sinx = 1,

sinx = t

6t² - t - 1 = 0,

D = (-1)² - 4 · 6 · (-1) = 1 + 24 = 25; √25 = 5

t₁ = (1 + 5)/(2 · 6) = 6/12 = 1/2,

t₂ = (1 - 5)/(2 · 6) = -4/12 = -1/3.

sinx = 1/2,

x = π/6 · (-1)^m + πm, m ∈ Z;

sinx = -1/3,

x = (-1)ⁿ · arcsin(-1/3) + πn, n ∈ Z,

x = (-1)ⁿ⁺¹· arcsin(1/3) + πn, n ∈ Z.

ответ: π/6 · (-1)^m + πm, m ∈ Z; (-1)ⁿ⁺¹· arcsin(1/3) + πn, n ∈ Z.