Question

Пусть t1, t2 - корни квадратного уравнения t^2 - t - 4 = 0. известно, что t1^5 + 29t2 является целым числом. найдите это число.

Answer 1

По теореме Виета 
$t_{1}t_{2}=-4\\ t_{1}+t_{2}=1\\\\ t_{1}^5+29t_{2}=N\\\\$
Так как корни имеют вид 
$t_{1}=\frac{a+b}{2}\\ t_{2}=\frac{a-b}{2}\\ t_{1}+t_{2}=1\\ a=1\\ t_{1}t_{2}=1-b^2=4*-4\\ b=\sqrt{17}\\\\ t_{1}^5+29t_{2}=(\frac{a+b}{2})^5+29*\frac{a-b}{2}=\\\\ \frac{a^5+b^5+5ab(a+b)((a+b)^2-ab)}{32}+\frac{29a-29b}{2}=\\\\ \frac{1+\sqrt{17}^5+5\sqrt{17}(1+\sqrt{17})((\sqrt{17}+1)^2-\sqrt{17})}{32}+\frac{29-29\sqrt{17}}{2} =\\\\ \frac{1+289\sqrt{17}+(5\sqrt{17}+85)(18+\sqrt{17})+16*29+16*29\sqrt{17}}{32} = \\\\ \frac{465+289\sqrt{17}+90\sqrt{17}+85*19+85\sqrt{17} -464\sqrt{17}}{32} = 65$ 

ответ $65$