Question

А1) является ли функции f(x)=4+cos⁡x первообразной для функции f(x)=sin⁡x на промежутке (-∞ ; +∞) а2) найдите одну из первообразных для функции f(x)=x-7 на r a3) найдите общий вид первообразной для функции f(x)=1/5 x^3-2/3 x^2-12x-2 а4) дана первообразная функция f(x)=11/21 ctgx-12 cos⁡x+5 . найдите f(x) в1) для функции f(x)=3+х^2 . найдите первообразную , график которой проходит через данную точку м(1; 6) в2) пусть f(x)- первообразной функции у=х^2+3х . найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x) с1) докажите что функции f(x)=х^5+6х+sin⁡х на промежутке (-∞; +∞)

Answer 1

А1)  
Найдем производную
F'(x)=(4+cosx)'=-sinx
F'(x)≠f(x)
Значит, функция F(x) не является первообразной для f(x)
ответ: нет

 А2)
F(x)=x²/2-7x+C - общий вид первообразной. Чтобы получить одну из них, достаточно взять вместо С любое число. Пусть С=1.
ответ: F(x)=x²/2-7x+1

A3)
F(x)=1/5 * x⁴/4 - 2/3 x³/3 - 12 x²/2 - 2x=x⁴/20-2x³/9-6x²-2x

А4) 
f(x)=F'(x)=(11/21 ctgx-12 cosx+5)'=11/21 (-1/sin²x) + 12sinx=12sinx-11/(21sin²x)

В1)  
F(x)=3x+x³/3+C
Подставляем координаты точки М и находим С
6=3*1+1³/3+С
$C=6-3- \frac{1}{3} =2 \frac{2}{3}$
ответ:
$3x+ \frac{x^3}{3}+2 \frac{2}{3}$

В2) 
F(x)=x³/3+3x²/2+C
Поскольку F'(x)=х²+3х, то для нахождения точек экстремума приравняем ее 0
х²+3х=0
x(x+3)=0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Поэтому
x₁=0
x₂+3=0
x₂=-3
Определяем знаки интервалов
        +                -                    +
---------------₀---------------₀---------------->
                  -3                  0
В точке -3 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума
В точке 0 производная пеняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума
На промежутке (-∞;-3] и [0;∞)  функция возрастает
На промежутке [-3;0] функция убывает

С1) 
Найдем производную
 F'(x)=(х⁵+3х²-cosх+17)'=5x⁴+sinx
 F'(x)=f(x) для всех х∈(-∞;+∞)
Следовательно, F(x) есть первообразная для f(x). Что и требовалось доказать